Ma trận của ánh xạ tuyến tính f: V → W đối với cặp cơ sở S (của V) và T (của W) là ma trận mà các cột là tọa độ của f(s₁), f(s₂), …, f(sₙ) theo cơ sở T. Khi S và T đều là cơ sở chính tắc (standard basis), ma trận đó gọi là ma trận chính tắc của f.
Bài này mình sẽ đi qua toàn bộ lý thuyết về ma trận của ánh xạ tuyến tính — từ cơ sở chính tắc là gì, cách tìm ma trận đối với cặp cơ sở bất kỳ, đến công thức đổi tọa độ và các dạng bài tập điển hình có lời giải chi tiết. Đây là phần kiến thức tiếp nối ánh xạ tuyến tính trong chương trình đại số tuyến tính.
1. Cơ sở chính tắc là gì?
Cơ sở chính tắc (standard basis) của ℝⁿ là tập {e₁, e₂, …, eₙ} trong đó eᵢ có tọa độ thứ i bằng 1, còn lại bằng 0. Ví dụ: cơ sở chính tắc của ℝ³ là {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
Mình không đi sâu vào phần này ở bài hiện tại — nếu bạn cần định nghĩa đầy đủ, cách chứng minh, và bài tập về cơ sở của ℝ², ℝ³, Pₙ, Mₘₓₙ, xem tại đây:
Tìm cơ sở và số chiều không gian vecto – lý thuyết & bài tập có lời giải
Ở bài này mình tập trung vào phần quan trọng hơn: dùng cơ sở chính tắc để xây ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính.
2. Ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính là gì?
Ma trận chính tắc của f: V → W là ma trận biểu diễn f khi cả hai không gian đều dùng cơ sở chính tắc.
Cách tìm ma trận chính tắc:
- Tính f(e₁), f(e₂), …, f(eₙ) — ảnh của từng vecto cơ sở chính tắc
- Viết mỗi ảnh đó thành một cột của ma trận
Ma trận chính tắc A có kích thước m × n, trong đó n = dim(V) và m = dim(W).
Ví dụ 1: f: ℝ² → ℝ³, f(a, b) = (a + 2b, −a, 0)
Cơ sở chính tắc của ℝ²: e₁ = (1,0), e₂ = (0,1)
f(e₁) = f(1, 0) = (1, −1, 0)
f(e₂) = f(0, 1) = (2, 0, 0)
Ma trận chính tắc:
A = | 1 2 |
| -1 0 |
| 0 0 |
Ví dụ 2: f: ℝ³ → ℝ³, f(a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)
f(1,0,0) = (1, 1, 0)
f(0,1,0) = (2, 5, 0)
f(0,0,1) = (1, 0, 1)
Ma trận chính tắc:
A = | 1 2 1 |
| 1 5 0 |
| 0 0 1 |
Ví dụ 3: f: ℝ³ → ℝ⁴, f(a, b, c) = (a + b + c, b, b + c, a + c)
f(1,0,0) = (1, 0, 0, 1)
f(0,1,0) = (1, 1, 1, 0)
f(0,0,1) = (1, 0, 1, 1)
Ma trận chính tắc (4 × 3):
A = | 1 1 1 |
| 0 1 0 |
| 0 1 1 |
| 1 0 1 |
3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cặp cơ sở S và T
Đây là dạng tổng quát hơn, thường xuất hiện trong đề thi: “Tìm ma trận của f đối với cơ sở S của V và cơ sở T của W”.
Công thức:
Cho f: V → W, S = {s₁, s₂, …, sₙ} là cơ sở của V, T = {t₁, t₂, …, tₘ} là cơ sở của W.
Ma trận [f]_{S,T} có cột thứ i là tọa độ của f(sᵢ) trong cơ sở T, ký hiệu [f(sᵢ)]_T.
Quy trình 3 bước:
Bước 1: Tính f(s₁), f(s₂), ..., f(sₙ) ← áp dụng công thức f
Bước 2: Biểu diễn mỗi f(sᵢ) theo cơ sở T
→ Giải hệ: f(sᵢ) = α₁t₁ + α₂t₂ + ... + αₘtₘ
→ Lấy [f(sᵢ)]_T = (α₁, α₂, ..., αₘ)ᵀ
Bước 3: Ghép các cột [f(sᵢ)]_T lại → ma trận [f]_{S,T}
Ví dụ 4: f: ℝ³ → ℝ², f(a, b, c) = (b + c, 2a − c)
S = {u₁(1,0,1), u₂(4,3,3), u₃(1,2,1)}
T = {v₁(2,2), v₂(1,7)}
Bước 1 – Tính ảnh:
f(u₁) = f(1,0,1) = (0+1, 2−1) = (1, 1)
f(u₂) = f(4,3,3) = (3+3, 8−3) = (6, 5)
f(u₃) = f(1,2,1) = (2+1, 2−1) = (3, 1)
Bước 2 – Tìm tọa độ theo T:
Với f(u₁) = (1, 1): Giải α(2,2) + β(1,7) = (1,1)
2α + β = 1
2α + 7β = 1
→ 6β = 0 → β = 0, α = 1/2
→ [f(u₁)]_T = (1/2, 0)ᵀ
Với f(u₂) = (6, 5): Giải α(2,2) + β(1,7) = (6,5)
2α + β = 6
2α + 7β = 5
→ 6β = −1 → β = −1/6, α = 37/12
→ [f(u₂)]_T = (37/12, −1/6)ᵀ
Với f(u₃) = (3, 1): Giải α(2,2) + β(1,7) = (3,1)
2α + β = 3
2α + 7β = 1
→ 6β = −2 → β = −1/3, α = 5/3
→ [f(u₃)]_T = (5/3, −1/3)ᵀ
Bước 3 – Ma trận [f]_{S,T}:
[f]_{S,T} = | 1/2 37/12 5/3 |
| 0 −1/6 −1/3 |
4. Công thức đổi tọa độ trong đại số tuyến tính
Khi biết tọa độ của vecto v theo cơ sở S, muốn tìm tọa độ của f(v) theo cơ sở T, dùng công thức:
[f(v)]_T = [f]_{S,T} · [v]_S
Đây là ứng dụng trực tiếp của ma trận ánh xạ: nhân ma trận biểu diễn với vecto tọa độ để đổi sang hệ tọa độ mới.
Ý nghĩa thực tế: Công thức này là nền tảng của phép biến đổi tọa độ trong đồ họa máy tính, robotics, và xử lý tín hiệu — mỗi lần “rotate”, “scale”, hay “project” một đối tượng đều thực chất là nhân vecto với một ma trận ánh xạ tuyến tính.
5. Số chiều của ma trận ánh xạ tuyến tính
Ma trận biểu diễn f: V → W đối với cặp cơ sở S, T có kích thước:
m × n, trong đó n = dim(V), m = dim(W)
Quan hệ giữa hạng ma trận và hạng ánh xạ:
rank([f]_{S,T}) = rank(f) = dim(Im(f))
Và theo định lý số chiều:
rank(f) + dim(Ker(f)) = n = dim(V)
6. Bài tập tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính có lời giải
Bài 1: Tìm ma trận chính tắc của f: ℝ² → ℝ⁴
f(a, b) = (b, −a, a + 3b, a − b)
Giải:
f(1, 0) = (0, −1, 1, 1)
f(0, 1) = (1, 0, 3, −1)
Ma trận chính tắc (4 × 2):
A = | 0 1 |
| -1 0 |
| 1 3 |
| 1 -1 |
Bài 2: Tìm ma trận chính tắc của f: ℝ⁴ → ℝ⁵
f(a, b, c, d) = (d, a, c, b, b + c)
Giải:
f(1,0,0,0) = (0, 1, 0, 0, 0)
f(0,1,0,0) = (0, 0, 0, 1, 1)
f(0,0,1,0) = (0, 0, 1, 0, 1)
f(0,0,0,1) = (1, 0, 0, 0, 0)
Ma trận chính tắc (5 × 4):
A = | 0 0 0 1 |
| 1 0 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 1 1 0 |
Bài 3: Tìm ma trận của f theo cơ sở S → T
f: ℝ² → ℝ³, f(a, b) = (a + 2b, −a, 0)
S = {u₁(1, 3), u₂(−2, 4)}
T = {t₁(1,1,1), t₂(2,2,0), t₃(3,0,0)}
Bước 1 – Tính ảnh:
f(u₁) = f(1, 3) = (1+6, −1, 0) = (7, −1, 0)
f(u₂) = f(−2, 4) = (−2+8, 2, 0) = (6, 2, 0)
Bước 2 – Tìm tọa độ theo T:
Với (7, −1, 0): Giải α(1,1,1) + β(2,2,0) + γ(3,0,0) = (7,−1,0)
α + 2β + 3γ = 7
α + 2β = −1
α = 0
→ α = 0, β = −1/2...
Giải hệ bằng ma trận:
| 1 2 3 | 7 | | 1 0 0 | 0 |
| 1 2 0 | -1 | → | 0 1 0 | -1/2|
| 1 0 0 | 0 | | 0 0 1 | 8/3|
→ [f(u₁)]_T = (0, −1/2, 8/3)ᵀ
Tương tự cho f(u₂) = (6, 2, 0):
| 1 2 3 | 6 | | 1 0 0 | 0 |
| 1 2 0 | 2 | → | 0 1 0 | 1 |
| 1 0 0 | 0 | | 0 0 1 | 4/3|
→ [f(u₂)]_T = (0, 1, 4/3)ᵀ
Bước 3 – Ma trận [f]_{S,T}:
[f]_{S,T} = | 0 0 |
| -1/2 1 |
| 8/3 4/3|
Bài 4: Cho f: P₃(x) → P₂(x), p(x) → p'(x) (ánh xạ đạo hàm)
Cơ sở chính tắc của P₃(x): {1, x, x², x³} Cơ sở chính tắc của P₂(x): {1, x, x²}
Tính ảnh:
f(1) = 0 → [0, 0, 0]ᵀ
f(x) = 1 → [1, 0, 0]ᵀ
f(x²) = 2x → [0, 2, 0]ᵀ
f(x³) = 3x² → [0, 0, 3]ᵀ
Ma trận chính tắc (3 × 4):
A = | 0 1 0 0 |
| 0 0 2 0 |
| 0 0 0 3 |
Kiểm tra: rank(A) = 3, dim(Ker(f)) = 4 − 3 = 1. Ker(f) = span{1} (các hằng số có đạo hàm = 0).
Bài 5: Tìm Ker(f) và Im(f) từ ma trận chính tắc
f: ℝ⁴ → ℝ³, f(a,b,c,d) = (a+b, b+c, c+d)
Ma trận chính tắc:
A = | 1 1 0 0 |
| 0 1 1 0 |
| 0 0 1 1 |
Tìm Ker(f): Giải Ax = 0 bằng khử Gauss:
| 1 1 0 0 | 0 | | 1 0 0 1 | 0 |
| 0 1 1 0 | 0 | → | 0 1 0 -1 | 0 |
| 0 0 1 1 | 0 | | 0 0 1 1 | 0 |
Đặt d = t (tự do): a = −t, b = t, c = −t, d = t
Ker(f) = span{(−1, 1, −1, 1)}
dim(Ker(f)) = 1
Tìm Im(f): rank(A) = 3 → Im(f) = ℝ³ (toàn ánh).
Kiểm tra: rank(f) + dim(Ker(f)) = 3 + 1 = 4 = dim(ℝ⁴)
FAQ – Câu hỏi thường gặp
Ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính là gì?
Ma trận chính tắc là ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f khi cả V và W đều dùng cơ sở chính tắc. Cột thứ i của ma trận chính tắc là ảnh f(eᵢ) của vecto cơ sở thứ i, viết dưới dạng cột tọa độ.
Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc khác gì so với cơ sở tùy ý?
Ma trận chính tắc dùng cơ sở eᵢ chuẩn nên cột i chính là f(eᵢ) — tính trực tiếp từ công thức f, không cần giải hệ. Ma trận đối với cơ sở tùy ý S, T thì cần thêm bước biểu diễn f(sᵢ) theo T bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính.
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cặp cơ sở như thế nào?
Cho f: V → W, cơ sở S của V và T của W. Tính f(sᵢ) cho từng vecto sᵢ ∈ S, sau đó biểu diễn f(sᵢ) theo cơ sở T để lấy tọa độ. Ghép các vecto tọa độ đó thành các cột — đó là ma trận [f]_{S,T}.
Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính có kích thước bao nhiêu?
Ma trận biểu diễn f: V → W có kích thước m × n, trong đó n = dim(V) là số cột và m = dim(W) là số hàng. Hạng của ma trận bằng hạng của ánh xạ, tức là dim(Im(f)).
Công thức đổi tọa độ trong đại số tuyến tính là gì?
Nếu [f]_{S,T} là ma trận của f theo cặp cơ sở S và T, và [v]_S là tọa độ của v theo S, thì tọa độ của f(v) theo T được tính bằng: [f(v)]T = [f]{S,T} · [v]_S.
Các khái niệm liên quan
Ma trận ánh xạ tuyến tính kết nối trực tiếp với nhiều chủ đề trong đại số tuyến tính và ứng dụng:
- Hạng ma trận – rank([f]_{S,T}) = rank(f)
- Không gian con – Ker(f) và Im(f) đều tính được từ ma trận
- Phép khử Gauss – dùng để tìm Ker(f) và giải hệ tọa độ
- Ma trận chuyển cơ sở (change-of-basis matrix) – liên quan khi đổi S hoặc T
- Eigenvalue / Eigenvector – ma trận chính tắc của ánh xạ f: V → V
- Phép chiếu, phép đối xứng, phép quay – đều là AXTT với ma trận xác định
- Đồ họa máy tính (OpenGL, DirectX) – biến đổi 3D dùng ma trận 4×4
- Machine learning (PCA) – giảm chiều dữ liệu bằng ma trận ánh xạ tuyến tính
Tổng kết
Ba điểm cốt lõi cần nắm chắc về ma trận ánh xạ tuyến tính:
- Ma trận chính tắc = ghép cột các ảnh f(eᵢ) theo cơ sở chuẩn — tính thẳng từ công thức f, không cần giải hệ
- Ma trận đối với cặp cơ sở S, T = ghép cột các [f(sᵢ)]_T — cần giải hệ để đổi tọa độ
- Công thức đổi tọa độ: [f(v)]T = [f]{S,T} · [v]_S