Bài tập số phức không chỉ giúp chúng ta rèn luyện khả năng tư duy logic và tính sáng tạo, mà còn giúp củng cố kiến thức và phát triển khả năng giải quyết vấn đề.
Trong bài viết dưới đây TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập số phức toán cao cấp có lời giải thường gặp trong quá trình học môn đại số và hình giải tích.
1. Dạng chính tắc số phức đại số tuyến tính
Định nghĩa số phức
Số phức là một khái niệm trong toán học để biểu diễn một số có phần thực và phần ảo. Một số phức được biểu diễn dưới dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo.
Ví dụ số phức: 1+i; 2+3i.
Đơn vị ảo i được định nghĩa là căn bậc hai của -1, có tính chất \(i^2 = -1\).
Dạng chính tắc của số phức
Số phức thường được biểu diễn dưới dạng chính tắc là: z = a + bi Trong đó:
- z là số phức.
- a là phần thực của số phức.
- b là phần ảo của số phức và i là đơn vị ảo (\(i^2 = -1\)).
Ví dụ số phức dạng chính tắc: \(2 – i\) ; \(4 + 3i\)
Phần thực a và phần ảo b của số phức có thể là các số thực (ví dụ: a = 3, b = 2), các số âm (ví dụ: a = -1, b = -4), hoặc thậm chí là các số phức khác (ví dụ: a = 2 + i, b = -3i).
Xem bảng dưới đây để phân biệt giữa số thực và số ảo:
| Số phức | Số thực | Số ảo |
| -1 + 2i | -1 | 2i |
| 7-9i | 7 | -9i |
| -6i | 0 | -6i (số ảo) |
| 6 | 6 | 0i (số thực) |
2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp là gì
Số phức liên hợp (conjugate) của một số phức \(z = a + bi\) được ký hiệu là \(\overline{z}\) và được xác định bằng cách thay đổi dấu của phần ảo. Cụ thể, số phức liên hợp \(\overline{z}\)có dạng \(a – bi\), với phần thực giữ nguyên và phần ảo đảo ngược dấu.
Ví dụ, cho số phức \(z = 3 + 2i\), số phức liên hợp của \(z\) là \(\overline{z} = 3 – 2i\). Tương tự, đối với số phức \(w = -4i\), số phức liên hợp của \(w\) là \(\overline{w} = 4i\).
Chi tiết lý thuyết và bài tập số phức liên hợp của số phức
3. Công thức về số phức toán cao cấp
Phép cộng
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)Phép trừ
\((a+bi)-(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)Phép nhân
\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)Chú ý: \(i=\sqrt{-1}\\
i^2=-1,i^3=i^2.i=-i\\
i^4=i^3.i=-i.i=1,…,i^{4n}=1\\
i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i\\\)
Phép chia
\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-d^2}.i\)Tổng hợp full công thức số phức toán cao cấp
4. Dạng lượng giác của số phức
Tổng quát: z=r(cosφ + isinφ )
Một số công thức về dạng lượng giác:
– Phép cộng: \( z_1 + z_2 = (r_1 \cos \varphi_1 + r_2 \cos \varphi_2) + i(r_1 \sin \varphi_1 + r_2 \sin \varphi_2) \)
– Phép trừ: \(z_1 – z_2 = (r_1 \cos \varphi_1 – r_2 \cos \varphi_2) + i(r_1 \sin \varphi_1 – r_2 \sin \varphi_2)\)
– Phép nhân: \( z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 + \varphi_2)) \)
– Phép chia: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1 – \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 – \varphi_2)) \)
Chi tiết lý thuyết và cách bấm máy tính dạng lượng giác của số phức
5. Giải bài tập số phức toán cao cấp
Chuyển các số phức sau về dạng lượng giác
Tìm căn bậc 2 của số phức
Xem thêm bài tập về căn bậc 2 của số phức
Tìm dạng lượng giác của số phức
Tìm hiểu thêm: phương trình bậc 2 của số phức
Biểu diễn hình học của các số phức
a / z1 = -1 + i
Điểm biểu diễn số phức z1=-1+i là (-1;1)
b / z2 = i
Điểm biểu diễn số phức z2=i là (0;1)
c / z3 = 3
Điểm biểu diễn số phức z3=3 là (3;0)
Xem thêm các dạng bài tập về biểu diễn hình học của số phức
Câu hỏi thường gặp về số phức
0 có phải là số phức không?
Như chúng ta đã biết, 0 là một số thực. Và số thực là một phần của số phức. Do đó, 0 cũng là một số phức và có thể được biểu diễn dưới dạng 0 + 0i.
Quy tắc tính số phức
Quy tắc số học của số phức là:
Quy tắc cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Quy tắc trừ: (a + bi) – (c + di) = (ac) + (bd)i
Quy tắc nhân: (a + bi). (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
Viết ra đồng dạng cộng và nghịch đảo của số phức.
Nhận dạng cộng của số phức được viết là (x + yi) + (0 + 0i) = x + yi. Do đó, danh tính cộng là 0 + 0i.
Phép cộng nghịch đảo của số phức được viết là (x + yi) + (-x-yi) = (0 + 0i). Do đó, nghịch đảo của cộng là -x-yi.
Viết ra phép nhân và phép nghịch đảo của số phức.
Nhận dạng nhân của số phức được định nghĩa là (x + yi). (1 + 0i) = x + yi. Do đó, nhận dạng nhân là 1 + 0i.
Nhận dạng nhân của số phức được định nghĩa là (x + yi). (1 / x + yi) = 1 + 0i. Do đó, phép nhân là 1 / x + yi.
Tải file tài liệu bài tập số phức toán cao cấp có lời giải và lý thuyết PDF:
Trên đây là bài viết về một số một số dạng bài toán cơ bản và cách giải số phức bài tập toán cao cấp dành cho các bạn tham khảo. Chúc bạn học tập tốt!
Bài viết liên quan:
