Độc lập tuyến tính và Phụ thuộc tuyến tính – Bài tập & lời giải

Bài viết dưới TTnguyen sẽ chia sẻ một số lý thuyết cơ bản cùng với các dạng bài tập về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích.

1. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính là gì?

  • Một hệ các vectơ {v1,…,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số: k1,…, kn không đồng thời bằng 0 sao cho:

k1 v1 +… + kn vn = 0.

  • Hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k1 v1 +… + kn vn = 0 chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 =… = kn = 0

Xem thêm: Ánh xạ tuyến tính – Bài tập & lời giải

2. Cách chứng minh độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

  • Điều kiện độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính với ma trận vuông: tính định thức
    • Nếu định thức =0 => có vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính ( nghiệm không tầm thường)
    • Nếu định thức ≠ 0 => có nghiệm duy nhất => độc lập tuyến tính
  • Điều kiện với ma trận thường: Biến đổi siêu cấp về ma trận bậc thang
    • Nếu có nghiệm duy nhất => độc lập tuyến tính
    • Nếu có vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính

3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Phụ thuộc tuyến tính Độc lập tuyến tính
Mọi tập hợp chứa vectơ 0v đều phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu 0v ∈ S thì S phụ thuộc tuyến tính. Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0vS.
Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu E F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính. Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là ≠ E  F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.
Tập S={u1,u2,…,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui ∈ S sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S. Tập S ≠ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi vectơ bất kỳ u ∈ S đầu không thể là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
Mọi tập khác rỗng S  V thì hoặc S độc lập tuyến tính hoặc S phụ thuộc tuyến tính.

4. Bài tập về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính có lời giải

Ví dụ 1: Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ

S={2-x,2x-x2,6-5x+x2 }

Giải

Xét hệ phương trình sau:

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính

Đổi chỗ các phương trình để thuận tiện cho việc tính toán

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 2

Xét ma trận bổ sung của phương trình

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 4

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 5

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 6

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 7

Cách 2: Vì ma trận A  vuông => detA=((-1).(-1).6+2.2.1)-(2.-1.-5)=0 => phụ thuộc tuyến tính

Bài viết liên quan: Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng có lời giải chi tiết

Ví dụ 2: Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 8

Giải

Xét ma trận bổ sung sau:

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 9

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 10

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 11

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 12

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 14

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 18

Ví dụ 3: Kiểm tra các tập sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1.u1=(1,2) và u2=(-3,-6) trong R2

=> Phụ thuộc tuyến tính vì u1=-3u2

2.u1=(1,2,3) và u2=(3,6,7) trong R3

=> Độc lập tuyến tính

3.u1=(4,-2,6) và u2=(6,-3,9) trong R3

Xét ma trận bổ sung:

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 15

=> vô số nghiệm=> phụ thuộc tuyến tính

4.u1=(5,4,3), u2=(3,3,2), u2=(8,1,3) trong R3

Xét ma trận bổ sung:

độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 16

det=45+64+9-72-10-36=0 => phụ thuộc tuyến tính

5. 1+3x+3x2, x+4x2, 5+6x+3x2, 7+2x-xtrong P2

=> phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4: Tìm m để hệ 4 vectơ độc lập tuyến tính

X1=(4,4,2,8); X2=(3,1,0,4); X3=(-2,4,-4,-6); X4=(4,9,2,m1)

Hướng dẫn giải

Tìm m để hệ vectơ độc lập tuyến tính

Tải file bài tập có đáp án tại đây: https://bit.ly/3OJXo61

Vừa rồi mình đã tổng hợp các bài toán độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính kèm lời giải giúp các bạn ôn tập được dễ dàng. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em