Độc lập tuyến tính và Phụ thuộc tuyến tính – Bài tập & lời giải

Bài viết dưới TTnguyen sẽ chia sẻ một số lý thuyết cơ bản cùng với các dạng bài tập về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích.

1. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính là gì?

• Một hệ các vectơ {v1,…,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số: k1,…, kn không đồng thời bằng 0 sao cho:

k1 v1 +… + kn vn = 0.

• Hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k1 v1 +… + kn vn = 0 chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 =… = kn = 0

1.1 Hình ảnh độc lập tuyến tính

1.2 Hình ảnh phụ thuộc tuyến tính

2. Cách chứng minh độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Điều kiện độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính với ma trận vuông: tính định thức
  • Nếu định thức =0 => có vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính ( nghiệm không tầm thường)
  • Nếu định thức ≠ 0 => có nghiệm duy nhất => độc lập tuyến tính
• Điều kiện với ma trận thường: Biến đổi siêu cấp về ma trận bậc thang
  • Nếu có nghiệm duy nhất => độc lập tuyến tính
  • Nếu có vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính

3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Tóm lại: 

1. Hai vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức là một vectơ là bội số vô hướng của vectơ kia.
2. Bất kỳ tập hợp nào chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
3. Nếu một tập hợp con của{v1,v2,…,vk}là phụ thuộc tuyến tính, sau đó{v1,v2,…,vk}cũng phụ thuộc tuyến tính.

4. Bài tập về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính có lời giải

Ví dụ 1: Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ

S={2-x,2x-x²,6-5x+x² }

Giải

Xét hệ phương trình sau:

Đổi chỗ các phương trình để thuận tiện cho việc tính toán

Xét ma trận bổ sung của phương trình

Cách 2: Vì ma trận A  vuông => detA=((-1).(-1).6+2.2.1)-(2.-1.-5)=0 => phụ thuộc tuyến tính

Bài viết liên quan:

số chiều của không gian vectơ

giá trị riêng của ma trận

bài tập ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2: Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính

Giải

Xét ma trận bổ sung sau:

Ví dụ 3: Kiểm tra các tập sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1.u₁=(1,2) và u₂=(-3,-6) trong R²

=> Phụ thuộc tuyến tính vì u₁=-3u₂

2.u₁=(1,2,3) và u₂=(3,6,7) trong R³

=> Độc lập tuyến tính

3.u₁=(4,-2,6) và u₂=(6,-3,9) trong R³

Xét ma trận bổ sung:

=> vô số nghiệm=> phụ thuộc tuyến tính

4.u₁=(5,4,3), u₂=(3,3,2), u₂=(8,1,3) trong R³

Xét ma trận bổ sung:

det=45+64+9-72-10-36=0 => phụ thuộc tuyến tính

5. 1+3x+3x², x+4x², 5+6x+3x², 7+2x-x² trong P₂

=> phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4: Tìm m để hệ 4 vectơ độc lập tuyến tính

X1=(4,4,2,8); X2=(3,1,0,4); X3=(-2,4,-4,-6); X4=(4,9,2,m−1)

Hướng dẫn giải

Tải file bài tập có đáp án

Vừa rồi mình đã tổng hợp các bài toán độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính kèm lời giải giúp các bạn ôn tập được dễ dàng. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net