Ánh xạ tuyến tính – Bài tập & lời giải

Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!

1. Ánh xạ tuyến tính là gì?

Định nghĩa: V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:

  • f(x,y)=f(x)+f(y)
  • f(kx)=kf(x)

∀ x, y∈V, ∀ k∈ R

2. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là hai không gian véc tơ. Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì:

  • f(θ) = θ
  • f(–v) = –f(v), ∀v ∈ V
  • f(u – v) = f(u) – f(v), ∀u, v ∈ V.

3. Hạng của ánh xạ tuyến tính – Định lí về số chiều

Định nghĩa hạng của axtt: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im(f) gọi là hạng của f, ký hiệu là rank(f).

rank(f) = dim(Im(f)).

Định lý về số chiều: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì

dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n,

trong đó n = dimV, tức là rank(f) + dim(Ker(f)) = n.

3. Chứng minh ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: Cho R2→R3, Chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không

f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f(x+y)=(x+ x2, y+ y2)

=(x+ x+ y+ y2,0, 2x+ 2x+ 2y1 + 2y2)

= (x1+y1, 0, 2x1 + 2y)+(x2,+y, 0, 2x+y)

= f(x)+f(y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 )

= k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính

4. Ma trận của  ánh xạ tuyến tính

V là không gian vecto với cơ sở S

W là không gian vecto với cơ sở T

Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T

  • Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
  • Tìm ảnh f(s)
  • Tìm toạ độ [f(s)]T

5. Cách tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4

f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c)

Giải

Có thể viết lại thành dạng cột:

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 1

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 2

Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2

f (a, b, c) = (b + c, 2a-c)

S = {u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)}

T = {(2,2), (1,7)}

Giải

Tìm ảnh f(s):

f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1)

f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5)

f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1)

Tìm toạ độ [f(s)]T

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 3

Vậy ma trận S – T là:

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 9

Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải

I. Bài tập chứng minh ánh xạ tuyến tính có lời giải

1.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (x, y + 1)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

= (x 1 + x 2 ,  1 + y 2 + 1)

= (x , y 1 +1) + (x 2 , y 2 )

≠ f (x) + f (y)

Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính

2. Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?

f (x, y) = (y, y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)

– f (x + y) = (y 1 + y , y 1 + y 2 )

= (y 1 + y 2 ,  1 + y 2 )

= (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 )

= f (x) + f (y)

-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )

= (ky 1 , ky 1 )

= k (y 1, y 1 )

= kf (x)

Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính

II. Tìm ma trận f đối với cơ sở chính tắc

1. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3

f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)

Giải

Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là:

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 4

2. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f sau:

+ f (a, b) = (b, -a, a + 3b, a – b)

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 5

+ f (a, b, c, d) = (d, a, c, b, bc)

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 6

3. Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3

f (a, b) = (a + 2b, -a, 0)

S = {u 1 (1, 3), u 2 (-2, 4)}

T = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)}

Giải

Tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f(s):

f (u 1 ) = f (1,3) = (7, -1 ,0)

f (u 2 ) = f (-2, 4) = (6, 2, 0)

Tìm toạ độ [f(s)]T

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 7

Vậy ma trận S – T là:

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 8

4. Xét ánh xạ f: R2 -> R3

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 10

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 11\

5. Cho ánh xạ f: P3(x) -> P2(x), p(x) -> p'(x)

Ví dụ ánh xạ tuyến tính 12

Tải File bài tập có đáp án tại đây: https://bit.ly/3OJXo61

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản cùng phương pháp giải bài tập ánh xạ tuyến tính trong đại số tuyến tính và hình học. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em