Không gian con là khái niệm trong đại số tuyến tính để chỉ tập hợp con của một không gian vectơ mà bản thân tập hợp con đó là một không gian vectơ. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập liên quan về không gian vecto con giúp các bạn ôn tập được dễ dàng môn đại số và hình học giải tích.
1. Không gian vecto con
Định nghĩa không gian vectơ con tuyến tính là gì?
Tập hợp A ≠ ∅ của Rn được gọi là không gian vecto con của Rn nếu:
- ∀x,y ∈ A, x+y ∈ A
- ∀α ∈ R, ∀x ∈ A, αx ∈ A
Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vectơ hoặc đơn giản là phép cộng +: V × V V, lấy 2 vectơ bất kì v và w và đánh dấu một vectơ thứ 3 được viết là v + w, được gọi là tổng của các vectơ.
Toán tử thứ 2 được gọi là phép nhân vô hướng: F × V V, lấy một vô hướng a bất kì và một vectơ v, cho ta một vectơ khác av.
Tóm lại: Một tập con S của một không gian vecto V được gọi là không gian con nếu như bản thân S là một không gian vectơ với phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng được định nghĩa trên V.
Tham khảo: Phép nhân 2 ma trận toán cao cấp
2. Chứng minh không gian vecto con
2.1 Kiểm tra có phải không gian vecto con
Vì phần tử đường chéo chính khác ban đầu (k+h≠1) => W không là vecto con
b. W={a+bx+cx2 | a+b-c=0} ⊂P2
Lấy 2 ma trận bất kỳ thuộc P2
m1=a1+bx1+c1x2 , a1+b1-c1=0; m2=a2+b2x+c2x2 , a2+b2-c2=0
km1+hm2=k(a1+bx1+c1x2)+h(a2+b2x+c2x2)
=(ka1+ha2)+ (kb1+hb2)x+ (kc1+hc2)x2
=(ka1+ha2)+ (kb1+hb2) – (kc1+hc2)=0
k(a1+b1-c1)+h(a2+b2-c2)=0
=> W là vecto con
3. Cách xác định chiều và cơ sở không gian vecto con
- Cách xác định chiều không gian con:
+ Lập ma trận hàng
+ Biến đổi về dạng bậc thang
+ Dim = rank(A)
- Cách xác định cơ sở không gian vector con:Lấy số vecto khác 0 của ma trận bậc thang làm cơ sở
Bài viết cùng chủ đề: Bài tập số phức toán cao cấp có lời giải
3. Các dạng bài tập không gian vecto con có lời giải
3.1 Bài tập tìm không gian con: cơ sở, số chiều
a/ (1,-1,2), (2,1,3), (-1,5,0) ⊂ R3
Xét ma trận bổ sung sau:
Vậy dim=3 và cơ sở là các vecto đã cho
b/ (1,1,-4,-3), (2,0,2,-2), (2,-1,3,2) ⊂ R4
Xét ma trận bổ sung:
Vật dim=3 và cơ sở là (1,1,-4,-3),(0.-2,10,4),(0,0,-4,2)
c/ Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau:
Giải
Xét ma trận bổ sung:
Đặt:
x1= -a/4
x2=-2a-8b/8
x3=a
x4=b
Vậy dim=2 và cơ sở là
d/ Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau:
Giải
Xét ma trận bố sung
Đặt
x1= -2a-b
x2=-a-2b
x3=a
x4=b
=a(-2,-1,1,0)+b(-1,-2,0,1)
Vậy dim =2 và cơ sở là (-2,-1,1,0), (-1,-2,0,1)
Tổng kết
Trong không gian R2:
- R2 là không gian con của R2
- Bất kỳ vecto nào thuộc đường thẳng đi qua qua toạ độ (0,0) đều không gian con của R2
- Vecto 0 là không gian con của R2
Trong không gian con R3
- R3 là không gian con của R3
- Bất kì vecto nào nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ 0 đều là không gian con của R3
- Vecto 0 là không gian con của R3
Trên đây là kiến thức cơ bản cùng bài tập không gian vecto con có lời giải. Hi vọng qua bài viết các bạn sẽ biết cách chứng minh 1 tập là không gian vecto con hay chứng minh w là không gian con của r3. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net
