Số phức liên hợp là số phức mà phần ảo được đổi dấu. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về số phức liên hợp của số phức và các dạng bài tập chi tiết cùng phương pháp giải.
Xem thêm:
- Tổng hợp công thức số phức full “không che”
- bài tập số phức toán cao cấp có lời giải
1. Định nghĩa số phức liên hợp
Số phức liên hợp của một số phức a + bi được ký hiệu là a – bi, tức là giữ nguyên phần thực và đổi dấu của phần ảo. Nói cách khác, số phức liên hợp của a + bi là số phức a – bi.
Ví dụ: Số phức liên hợp của z = 2 – 3i là z = 2 + 3i.
Số phức liên hợp của một số phức a + bi thường được kí hiệu là a – bi. Ký hiệu này chỉ đơn giản là đổi dấu của phần ảo b trong số phức ban đầu.
Bài viết liên quan: số phức nghịch đảo – lý thuyết và bài tập có lời giải chi tiết
2. Tính chất của số phức liên hợp
Một số tính chất cơ bản của số phức liên hợp cần phải nhớ:
- \(Z \times \bar{Z} = a2+ b2\) là một số thực
- \(Z + \bar{Z} = 2a\) là một số thực
- \(\overline{Z + Z’} = \bar{Z} + \bar{Z’}\)
- \(\overline{Z \times Z’} = \bar{Z} \times \bar{Z’}\)
3. Cách tìm số phức liên hợp chi tiết nhất
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z là a – bi.
Kết quả: ∀ z ∈ C ta có:
- \(\bar{Z} = Z ; \left | \bar{Z} \right | = \left | Z \right |\)
- \(\overline{Z _{1} . Z_{2}} = \left | \bar{Z_{1}} \right | . \left | \bar{Z_{2}} \right |\)
- \(\overline{Z _{1} \pm Z_{2}} = \left | \bar{Z_{1}} \right | \pm \left | \bar{Z_{2}} \right |\)
- \((\overline{\frac{{Z}_{1}} {Z2}}) = \frac{\overline{{Z}_{1}}}{\overline{{Z}_{2}}}\)
Trong đó:
- Z là số thực khi \( Z = \bar{Z} \)
- Z là số thuần ảo khi \(Z = -\bar{Z}\)
4. Cách bấm số phức liên hợp trên máy tính casio
Để tính số phức liên hợp z ta tính như phương trình bậc nhất của số phức z bằng cách rút z và bấm Shift + 2 + 2 để chuyển về dạng số phức liên hợp (z*).
Đề bài:: Tìm z* biết z = (3i – 2)/(i+1)
Bài giải:
Cách tính: Ta bấm Shift + 2 + 2 > Bấm trực tiếp phương trình vào trong máy tính > Bấm dấu = để ra kết quả.
Bài viết cùng chủ đề: Hướng dẫn biểu diễn hình học của số phức
5. Bài tập tìm số phức liên hợp và phương pháp giải
Câu 1: Cho số phức Z= 1+3i. Tìm số phức \(\bar{Z}\)
Giải:
Ta có: Z= 1+3i \(\Rightarrow \bar{Z} = 1 – 3i\)
Câu 2: Hãy tìm số phức liên hợp của các số phức dưới đây:
a. z = -3 + 5i
b. z = 3 – 4i
c. z = 5 – 3i
d. z = i(3i +1)
Gợi ý giải:
Câu 2: Cho số phức z= -2-5i. Tìm số thực a và phần ảo b của số phức \(\bar{Z}\)
Giải:
Ta có Z= a+ bi \(\Rightarrow \bar{Z} = a – bi\)
Nên \(\bar{Z}\) = -2+ 5i
Vậy phần thực a= -2, phần ảo b= 5
Câu 3: Tìm số phức liên hợp của số phức \(Z = \frac{1 + i}{2 – i}\)
Giải:
Ta có: \(Z = \frac{1 + i}{2 – i} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 – i)(2 + i)} = \frac{1 + 3i}{2^{2} – i^{2}} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i\)
\(\Rightarrow \left | \bar{Z} \right | = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i\)Câu 4: Cho số phức z = 3 + 4i. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức \(\bar{z}\)
Giải:
Ta có:
Z= a+ bi \(\Rightarrow \bar{z} = a – bi\)
\(\Rightarrow \bar{z} = 3 – 4i\)Vậy phần thực a=3 và phần ảo b=-4
Câu 5: Tìm số phức liên hợp của số phức \( z= (1+i)(3-2i)+ \frac{1}{2 + i}\)
Giải:
Ta có:
\(z= (1+i)(3-2i)+ \frac{1}{2 + i} = (3-2i+ 3i+2) + \frac{2 – i}{(2 + i)(2 – i)} = 5+i+ \frac{2 – i}{5} = \frac{27 + 4i}{5}\) \(\Rightarrow \bar{z} = \frac{27}{5} – \frac{4}{5}i\)Câu 6: Tìm số phức Z thỏa mãn \(z-(2+3i)\bar{z}= 1-9i\)
Giải:
Gọi z= a+ bi, \(\bar{z}=a-bi\)
Ta có:\(z-(2+3i)\bar{z}= 1-9i\)
\(\Leftrightarrow (a+bi) – [(2+3i)(a-bi)] = 1-9i \) \(\Leftrightarrow a + bi- 2a + 2bi- 3ai- 3b= i- 9i \) \(\Leftrightarrow a – 3b + (b+2b-3a)i= i- 9i \) \(\Leftrightarrow -a- 3b= 1, -3a+ 3b= -9 \) \(\Leftrightarrow a= 2, b= -1 \)Vậy \(\bar{z}=2-i\)
Câu 7: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z+2\bar{z}= (2-i)^{3}(1-i)\)
Giải:
Đặt z= x + yi ta có:
\(z + 2 \bar{z} = (2-i)^{3}(1-i)\) \(\Leftrightarrow x+ yi + 2(x-yi)= -9- 13i\) \(\Leftrightarrow 3x= -9, -y= -13 \) \(\Leftrightarrow x= -3, y= 13\)Câu hỏi liên quan
Liên hợp của liên hợp số phức
Liên hợp của liên hợp số phức được định nghĩa là số phức ban đầu. Nói cách khác, nếu z là một số phức, thì liên hợp của liên hợp của z (kí hiệu là \(\bar{\bar{z}}\)) sẽ bằng z.
Ví dụ: Nếu z = a + bi là một số phức, thì liên hợp của z được ký hiệu là \(\bar{\bar{z}}\) = a – bi. Giờ ta lấy liên hợp của \(\bar{\bar{z}}\), ta được \(\bar{\bar{z}}\)= a – (-bi) = a + bi = z.
Do đó, ta có liên hợp của liên hợp số phức là chính số phức ban đầu.
Phần ảo của số phức liên hợp
Phần ảo của số phức liên hợp \(\bar{z}\) có thể được tính bằng cách đổi dấu của phần ảo của số phức ban đầu (z).
Tích 2 số phức liên hợp
Để tính tích của hai số phức liên hợp, chúng ta nhân hai số phức và lấy số phức liên hợp của kết quả. Giả sử ta có hai số phức liên hợp \(\bar{z}_1\) và\(\bar{z}_2\).
Tích của hai số phức liên hợp là:
\((\bar{z}_1)(\bar{z}_2) = (a_1 – b_1i)(a_2 – b_2i)\)Tiến hành tính toán bằng cách nhân các thuật ngữ:
\((\bar{z}_1)(\bar{z}_2)= a_1a_2 – a_1b_2i – b_1ia_2 + b_1b_1i^2\)Như vậy, ta có kết quả tích của hai số phức liên hợp:
\((\bar{z}_1)(\bar{z}_2)= (a_1a_2 – b_1b_2) – (a_1b_2 + b_1a_2)i\)Kết quả này là một số phức, trong đó phần thực là \((a_1a_2 – b_1b_2) \) và phần ảo là \(-(a_1b_2 + b_1a_2)\).
Bài viết tiếp theo: phương trình bậc 2 số phức
Trên đây là lý thuyết và các dạng bài tập số phức liên hợp, cảm ơn các bạn đã theo dõi các bài viết về đại số tuyến tính trên ttnguyen.net.
