Bài viết dưới đây TTnguyen xin được gửi tới khái niệm cùng một số dạng bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng có lời giải chi tiếp giúp các bạn ôn tập dễ dàng, đạt kết quả cao trong môn đại số và hình học giải tích.
1. Định nghĩa
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax=λx
- Vectơ x≠θ này được gọi là vectơ riêng ứng trị riêng λ.
- Nếu x là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ thì kx (0≠k∈R) cũng là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ.
2. Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng
a.Tìm giá trị riêng của ma trận
Ax=kx
<=> Ax-kx=0 <=>(A-k)x=0
Để hệ trện có nghiệm x≠0
=> hệ trên vô số nghiệm
=> det(A-kI)=0
Cũng đọc:
b.Tìm vectơ riêng của ma trận
Với mỗi k tìm đc giải hệ (A-kI)x=0 và tìm nghiệm x khác 0 của hệ đó
Vd: Tìm GTR, VTR
Giải
Ta có:
Vậy λ1=-1 và λ2= 3 là 2 trị riêng
Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ1=-1 là t(0,1) ; t∈R
Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ2=3 là t(1/2, 1) ; t∈R
c. Tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính
Hướng dẫn tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính Casio fx 580VNX:
Bước 1: Chọn Menu> chọn 4 để nhập ma trận
Bước 2: Nhập ma trận cần tìm và tính det(A)= chọn AC> OPTN> Định thức
Đa thức đặc trưng: PA(λ)= det(A-λI)=-λ3+aλ2+bλ+c
Với:
- a= tổng đường chéo chính của A
- b= detA
- c=det(A-I)+1-a-c ( với I là ma trận chuyển vị)
c.Tóm tắt các bước tìm trị riêng và vectơ riêng:
Bước 1. Viết ma trận A
Bước 2. Tính đa thức đặc trưng: P (λ) = det(A – λI)
Bước 3. Giải phương trình P(λ) = 0. Ta được các nghiệm. Đó chính là các trị riêng cần tìm.
Bước 4. Lần lượt thay các nghiệm vào để giải hệ phương trình (A – λI)X = 0
Nghiệm của hệ chính là các vector riêng tương ứng cần tìm
3.Chéo hoá ma trận
3.1 Định nghĩa
- Nếu A là một ma trận đồng dạng với ma trận chéo B, tức là: tồn tại ma trận khả đảo T sao cho B= T-1AT hay
A= TBT-1thì khi đó nếu cần tính An ta sẽ có:
An = (TBT-1)n = TBnT-1
- Nếu ma trận A có n trị riêng đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.
3.2 Cách chéo hoá ma trận
Bước 1: Giải phương trình det(A – λI) = 0
Bước 2: giải hệ (A – λI)X = 0 Nếu có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì ma trận A chéo hóa được.
Bước 3: Lập ma trận T
Bước 4: Ma trận T-1ATlà ma trận đường chéo đồng dạng với ma trận A
Bài tập tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận
1.Tìm trị riêng và vector riêng f : R3 -> R3
(x1, x2, x3) = (2x1 + x2 + x3 , x1 + 2x2 – x3 , 3x3 )
Giải
{(t + s, t, s); t, s ∈ R} = {t(1, 1, 0) + s(1, 0, 1); t, s ∈ R}
2. Bài tập chéo hóa ma trận có lời giải
Hướng dẫn giải bài tập chéo hoá ma trận sau:
Giải
Vậy λ1 = 2 và λ2 = 3 và các giá trị riêng
Vậy vector riêng ứng với λ1 = 2 là {t (1,0,0), t∈R}
\
Vậy vector riêng ứng với λ2 = 3 là {s (0,1,0) + t(-2,0,1), t, s ∈R}
Xem thêm:
3.Tìm ma trận khả đảo T sao cho T -1AT là ma trận chéo trong đó
Tải tài liệu lý thuyết kèm bài tập giá trị riêng, chéo hoá ma trận PDF
Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã nắm vững kiến thức về giá trị riêng và vectơ riêng cùng cách tính giá trị riêng của ma trận. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tại liệu toán cao cấp đại số tuyến tính trên ttnguyen.net
