Bài viết dưới đây TTnguyen xin được gửi tới khái niệm cùng một số dạng bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng có lời giải chi tiếp giúp các bạn ôn tập dễ dàng, đạt kết quả cao trong môn đại số và hình học giải tích.
Xem thêm:
I. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax = λx.
Khi đó: Vectơ x ≠ θ này được gọi là vector riêng của A ứng trị riêng λ.
Ví dụ: Cho ma trận \(A = \begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
Giải
Ta có: A(1,0) = \(\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}(1,0)=(3,0)=3(1,0)\)
Do đó, λ = 3 là một trị riêng của a và x = (1,0) là một vector riêng ứng với trị riêng λ = 3.
Lưu ý:
- Nếu x là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ thì kx (0≠k∈R) cũng là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ.
- Ma trận 0 chỉ có giá trị riêng λ = 0.
- Ma trận đơn vị chỉ có trị riêng λ = 1.
- Vectơ riêng phải là vectơ khác 0.
>>>Xem thêm: ánh xạ tuyến tính
II. Các tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận
Tìm trị riêng của ma trận
Ax=kx
<=> Ax – kx=0 <=>(A-k)x=0
Để hệ trên có nghiệm x≠0
=> hệ trên vô số nghiệm
=> det(A-kI)=0
Liên quan
- tính định thức ma trận
- nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường
Tìm vector riêng của ma trận
Với mỗi k tìm được, giải hệ (A-kI)x=0 và tìm nghiệm x khác 0 của hệ đó.
Tóm tắt cách tìm trị riêng và vectơ riêng
Bước 1: Viết ma trận A.
Bước 2: Tính đa thức đặc trưng: P (λ) = det(A – λI).
Bước 3: Giải phương trình P(λ) = 0. Ta được các nghiệm. Đó chính là các trị riêng cần tìm.
Bước 4: Lần lượt thay các nghiệm vào để giải hệ phương trình (A – λI)X = 0. Nghiệm của hệ chính là các vector riêng tương ứng cần tìm.
>> đọc thêm: hệ phương trình tuyến tính
Tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính
Hướng dẫn tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính Casio fx 580VNX:
Bước 1: Chọn Menu> chọn 4 để nhập ma trận.
Bước 2: Nhập ma trận cần tìm và tính det(A)= chọn AC> OPTN> Định thức.
Đa thức đặc trưng: \(P_{A}(λ) = det(A – λI) = -λ^{3} + aλ^{2} + bλ +c\)
Với:
- a= tổng đường chéo chính của A.
- b= detA.
- c=det(A-I)+1-a-c ( với I là ma trận chuyển vị).
Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng
1. Tìm giá trị riêng và vecto riêng f: r3 -> r3
(x1, x2, x3) = (2x1 + x2 + x3 , x1 + 2x2 – x3 , 3x3 )
Giải
{(t + s, t, s); t, s ∈ R} = {t(1, 1, 0) + s(1, 0, 1); t, s ∈ R}
2. Tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận
Bài 1: Tìm trị riêng của ma trận
Giải
Ta có:
Vậy λ1=-1 và λ2= 3 là 2 trị riêng
Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ1=-1 là t(0,1) ; t∈R
Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ2=3 là t(1/2, 1) ; t∈R
Bài 2: Tính giá trị riêng của ma trận
\(\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\)
Bài 3: Tìm trị riêng của ma trận vuông cấp 3
\(\begin{pmatrix}1 & 4 & 6\\
-3 & -7 & -7\\
4 & 8 & 7
\end{pmatrix}\)
Tải tài liệu lý thuyết kèm bài tập giá trị riêng, vector PDF
Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã nắm vững kiến thức về giá trị riêng và vectơ riêng cùng cách tính giá trị riêng của ma trận. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tại liệu toán cao cấp đại số tuyến tính trên ttnguyen.net
