Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng có lời giải chi tiết

Bài viết dưới đây TTnguyen xin được gửi tới khái niệm cùng một số dạng bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng có lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng, đạt kết quả cao trong môn  đại số và hình học giải tích.

1. Định nghĩa

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax=λx

  • Vector x≠θ này được gọi là vector riêng ứng trị riêng λ.
  • Nếu x là vector riêng của A ứng trị riêng λ thì kx (0≠k∈R) cũng là vector riêng của A ứng trị riêng λ.

2. Cách tìm vector riêng và giá trị riêng

a.Tìm giá trị riêng của ma trận

Ax=kx

<=> Ax-kx=0 <=>(A-k)x=0

Để hệ trện có nghiệm x≠0

=> hệ trên vô số nghiệm

=> det(A-kI)=0

b.Tìm vecto riêng của ma trận

Với mỗi k tìm đc giải hệ (A-kI)x=0 và tìm nghiệm x khác 0 của hệ đó

Vd: Tìm GTR, VTR

bài tập giá trị riêng vecto riêng

Giải

Ta có:

bài tập giá trị riêng 2

Vậy λ1=-1 và λ2= 3 là 2 trị riêng

Bài tập giá trị riêng 3

Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ1=-1 là t(0,1) ; t∈R

bài tập giá trị riêng 4

Các véc tơ riêng ứng với trị riêng λ2=3 là t(1/2, 1) ; t∈R

c. Tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính

Hướng dẫn tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính Casio fx 580VNX:

Bước 1: Chọn Menu> chọn 4 để nhập ma trận

Bước 2: Nhập ma trận cần tìm và tính det(A)= chọn AC> OPTN> Định thức

Đa thức đặc trưng: PA(λ)= det(A-λI)=-λ3+aλ2+bλ+c

Với:

  • a= tổng đường chéo chính của A
  • b= detA
  • c=det(A-I)+1-a-c ( với I là ma trận chuyển vị)

c.Tóm tắt các bước tìm trị riêng và vector riêng:

Bước 1. Viết ma trận A
Bước 2. Tính đa thức đặc trưng: P (λ) = det(A – λI)
Bước 3. Giải phương trình P(λ) = 0. Ta được các nghiệm. Đó chính là các trị riêng cần tìm.
Bước 4. Lần lượt thay các nghiệm vào để giải hệ phương trình (A – λI)X = 0
Nghiệm của hệ chính là các vector riêng tương ứng cần tìm

3.Chéo hoá ma trận

3.1 Định nghĩa

  • Nếu A là một ma trận đồng dạng với ma trận chéo B, tức là: tồn tại ma trận khả đảo T sao cho B= T-1AT hay

A= TBT-1thì khi đó nếu cần tính An ta sẽ có:

An = (TBT-1)n = TBnT-1

  • Nếu ma trận A có n trị riêng đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.

3.2 Cách chéo hoá ma trận

Bước 1: Giải phương trình det(A – λI) = 0

Bước 2: giải hệ (A – λI)X = 0 Nếu có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì ma trận A chéo hóa được.

Bước 3: Lập ma trận T

Bước 4: Ma trận T-1ATlà ma trận đường chéo đồng dạng với ma trận A

Bài tập tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận

1.Tìm trị riêng và vector riêng f :  R3 -> R3

(x1, x2, x3) = (2x1 + x2 + x3 , x1 + 2x2 – x3 , 3x3 )

Giải

bài tập giá trị riêng 5

bài tập giá trị riêng 6

bài tập giá trị riêng 7

{(t + s, t, s); t, s ∈ R} = {t(1, 1, 0) + s(1, 0, 1); t, s ∈ R}

2. Bài tập chéo hóa ma trận có lời giải

Hướng dẫn giải bài tập chéo hoá ma trận sau:

chéo hoá ma trận 7

Giải

chéo hoá ma trận 8

Vậy λ1 = 2 và λ2 = 3 và các giá trị riêng

chéo hoá ma trận 9

Vậy vector riêng ứng với λ1 = 2 là {t (1,0,0), t∈R}

chéo hoá ma trận 10\

Vậy vector riêng ứng với λ2 = 3 là {s (0,1,0) + t(-2,0,1), t, s ∈R}

chéo hoá ma trận 11

chéo hoá ma trận 12

3.Tìm ma trận khả đảo T sao cho T -1AT là ma trận chéo trong đó

chéo hoá ma trận 14

chéo hoá ma trận 15

chéo hoá ma trận 17

Hi vọng qua bài viết trên các bạn đã nắm vững kiến thức về giá trị riêng và vectơ riêng cùng cách tính giá trị riêng của ma trận. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tại liệu toán cao cấp đại số tuyến tính trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em