Tính định thức ma trận? Bài tập có lời giải chi tiết

Trong đại số và hình học giải tích, một trong những khái niệm quan trọng nhất là định thức ma trận. Nắm vững khái niệm này sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của ma trận, giúp giải quyết các bài toán phức tạp. Sau đây, hãy cùng TTnguyen tìm hiểu về cách tính định thức ma trận nhé.

1. Định thức ma trận là gì?

Định thức ma trận là một giá trị số được gán cho ma trận vuông. Det ma trận được biểu diễn bằng hai dòng dọc hoặc đơn giản bằng cách viết det và viết tên ma trận. ví dụ. |A|, det (A), det A.

Định thức cấp 2

=> Công thức thức tính giá trị của det ma trận vuông cấp 2: |A| = \(a_{11}.a_{22}-a_{21}.a_{12}\)

Ví dụ 1: Tính định thức bậc 2 sau:

Ví dụ tính định thức cấp 2

Liên quan:

2. Công thức tính định thức

  • Công thức tính det cấp 2
  • |A|= \(a_{11}.a_{22}-a_{21}.a_{12}\)
  • Công thức định thức cấp 3 (quy tắc Sarius):

tính định thức tam giác

\(|A| = (a_{11}.a_{22}.a_{33} + a_{21}.a_{32}.a_{13} + a_{12}.a_{23}.a_{31})-\\(a_{13}.a_{22}.a_{31} + a_{11}.a_{23}.a_{32} + a_{12}.a_{21}.a_{33})\)

Công thức tính định thức cấp 3

Ví dụ 2: Giải định thức ma trận bằng phương pháp tam giác

Tính định thức cấp 3

Xem thêm: độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3. Định thức con chính

Khái niệm: Định thức con là một ma trận con được tạo thành bằng cách chọn một số hàng và một số cột từ ma trận A ban đầu và xoá bỏ các hàng các cột còn lại.

Cho det của ma trận cấp 4 là: \(\begin{vmatrix}
1& 2& 3& 4 \\
1& 3& 4& 5\\
3& 4& 5& 6\\
5& 6& 7& 8
\end{vmatrix}\)

Ta có:

+ Định thức con chính cấp 1: \(\begin{vmatrix}
1
\end{vmatrix}\)

+ Định thức con chính cấp 2: \(\begin{vmatrix}
1& 2 \\
1& 3
\end{vmatrix}\)

+ Định thức con chính cấp 3: \(\begin{vmatrix}
1& 2& 3 \\
1& 3& 4 \\
3& 4& 5
\end{vmatrix}\)

+ Định thức con chính cấp 4: \(\begin{vmatrix}
1& 2& 3& 4 \\
1& 3& 4& 5\\
3& 4& 5& 6\\
5& 6& 7& 8
\end{vmatrix}\)

Các định thức đặc biệt

4. Các tính chất của định thức

Dưới đây là một số tính chất cơ bản:

  • Tính chất 1: det ( \(A^{T}\)) = det (A).
  • Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng ( hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.

Định thức đổi dấu

  • Tính chất 3: Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần.
  • Tính chất 4: Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức như sau:

Tác định thức

  • Tính chất 5: Định thức sẽ bằng không nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

– Có một hàng (một cột) gồm toàn là số không.

Định thức bằng 0

– Có hai hàng (hai cột) giống nhau.
– Có một hàng (một cột) tỉ lệ vơi nhau.

Định thức tỉ lệ

  • Tính chất 6: Định thức của ma trận sẽ không thay đổi nếu nhân k vào một hàng (một cột) rồi đem cộng vào một hàng khác (cột khác).
  • Tính chất 7: Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo.
  • Tính chất 8: Nếu 2 ma trận vuông cấp n thì det (A.B) = det(A).det(B).
  • Tính chất 9: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì det (kA) = \(k^{n}\) .det (A).Ví dụ: \(A_{3×3}\) , det(A) = 5 ⇒ det(2A) = \(2^{3}.5\)= 40
  • Tính chất 10: Rút nhân tử chung của 1 hàng, 1 cột ra ngoài định thức:

Rút nhân tử định thức

Xem thêm: phép nhân 2 ma trận trong toán cao cấp

5. Tính định thức bằng phép biến đổi siêu cấp

Dưới đây là một số ví dụ tính định thức bằng cách triển khai theo hàng:

Ví dụ 3: Tính định thức ma trận

Tính định thức

Giải:

Các bước thực hiện:

  • Nhân hàng 1 với -3 vào hàng 2 để xuất hiện phần tử 0
    • a21=(-3).1 + 3 =0
    • a22=(-3).2+5=-1
    • a23=(-3).(-1)+(-2)=1
    • a24=(-3).1+0=-3
  • Tương tự nhân hàng 1 với -2 vào hàng 3, nhân hàng 1 với -2 vào hàng 1 ta được

Tính định thức

  • Nhân hàng 2 với 2 vào hàng 3 để xuất hiện phần tử 0
  • Nhân hàng 2 với 3 vào hàng 4, ta được

Tính định thức

  • Nhân hàng 3 với 1 vào hàng 4, ta được

Tính định thức

  • Như vậy định thức A chính là tích đường chéo: 1.(-1).3.0=0

Bài viết liên quan:

ma trận chuyển cơ sở

6. Cách tính định thức ma trận 4×4

Để tìm định thức của một ma trận 4×4, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đơn giản, mà chúng ta thường sử dụng để tìm định thức của một ma trận 3×3.

Trước khi tính định thức ma trận 4×4, chúng ta cần kiểm tra một số điều kiện trước.

  • Kiểm tra xem có trường hợp nào mà định thức có thể bằng 0 không (ví dụ: toàn bộ hàng hoặc cột là 0).
  • Kiểm tra xem có thể thực hiện việc phân tích một hàng hoặc cột không.
  • Kiểm tra xem các phần tử của ma trận có giống nhau nhưng được sắp xếp lại trên bất kỳ cột hoặc hàng nào không.

Nếu bất kỳ trong ba trường hợp trên được đáp ứng, ta sử dụng các phương pháp tương ứng để tính toán định thức 3×3.

6.1 Công thức tính định thức cấp 4

Tính định thức ma trận cấp 4

6.2 Bài tập tính định thức cấp 4 có lời giải

Bài 1: Giải định thức cấp 4 sau:

tính định thức cấp 4

Tính định thức cấp 4

Bài 2: Tính định thức ma trận cấp 4 có ẩn

Tính định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 3: Tính định thức cấp 4 sau:

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 4: Giải định thức cấp 4 sau:

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 5: Tính det ma trận vuông cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 6: Tính det ma trận 4×4

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 7: Tính định thức ma trận 4×4

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

Bài 8: Tính det ma trận 4×4

Tính ma trận định thức cấp 4

Tính ma trận định thức cấp 4

7. Định thức ma trận cấp 5×5

7.1 Cách tính định thức ma trận cấp 5×5

Dưới đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp triệt tiêu Gauss để tính det ma trận cấp 5:

Bước 1: Áp dụng phép biến đổi hàng và cột để đưa ma trận về dạng tam giác trên. Quá trình này bao gồm việc sử dụng các phép biến đổi sau:

  • Nhân một hàng (hoặc cột) với một hằng số khác 0 để tạo ra các phần tử 0 ở dưới đường chéo chính.
  • Cộng một hàng (hoặc cột) với một đa lượng của hàng (hoặc cột) khác để tạo ra các phần tử 0 dưới đường chéo chính.

Bước 2: Sau khi đưa ma trận về dạng tam giác trên, tính tích các phần tử trên đường chéo chính của ma trận. Kết quả này sẽ là det cấp 5.

7.2 Công thức tính định thức cấp 5

7.3 Bài tập tính định thức cấp 5 có lời giải

Bài 1: Tính định thức cấp 5 sau:

tính định thức ma trận cấp 5

tính định thức ma trận cấp 5

Bài 2: Tính định thức cấp 5×5 sau:

tính định thức ma trận cấp 5

tính định thức ma trận cấp 5

Bài 3: Tính det ma trận cấp 5 sau: 

tính định thức ma trận cấp 5

tính định thức ma trận cấp 5

8. Bài tập định thức có lời giải

Bài 1: Tính định thức cấp 2 sau:

Tính định thức cấp 2

Tính định thức cấp 2

Tính định thức

Tính định thức

Tính định thức

Bài 2: Biết các số 204,527,255 chia hết cho 17. Chứng minh định thức d chia hết cho 17

Tính định thức

Giải

Nhân cột thứ nhất với 100 rồi cộng vào cột cuối

tính định thức

Nhân cột thứ hai với 10 rồi cộng vào cột cuối

tính định thức

tính định thức

Kết luận định thức chia hết cho 17 vì tích có thừa số 17.

Bài 3: Cho a là ma trận vuông cấp 3 có det(a) = 3. định thức 2a là

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: (kA) = \(k^{n}\) .det (A)

Ta có: det(a) = 3 ⇒ det(2a) = \(2^{3}.3\)= 24

9. Tính định thức chứa ẩn

9.1 Tìm m để định thức bằng 0

Để tìm m để định thức của một ma trận bằng 0, chúng ta có thể giải phương trình định thức bằng 0.

Dưới đây là một ví dụ cụ thể:

Cho ma trận vuông A kích thước 3×3, tìm m để det a bằng 0

\(\begin{vmatrix}
2 & 4& 6\\
1 & 3& m\\
5 & 8& 9
\end{vmatrix}\)

Bước 1: Viết công thức định thức Det(A):

Det(A) = (2 * 3 * 9) + (4 * m * 5) + (6 * 1 * 8) – (6 * 3 * 5) – (4 * 1 * 9) – (2 * m * 8)

Bước 2: Đặt công thức định thức bằng 0 và giải phương trình:

(2 * 3 * 9) + (4 * m * 5) + (6 * 1 * 8) – (6 * 3 * 5) – (4 * 1 * 9) – (2 * m * 8) = 0

54 + 20m + 48 – 90 – 36 – 16m = 0

-30 – 4m = 0

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của m:

-4m = 30

m = -30/4

m = -7.5

Vậy, để định thức A bằng 0, giá trị của m phải là -7.5.

9.2 Tìm m để định thức lớn hơn 0

Bài 1: Tìm giá trị của m để định thức của ma trận lớn hơn 0

Cho ma trận vuông A kích thước 2×2 được cho bởi:

\(\begin{vmatrix}
3& 2\\
m& 4\\
\end{vmatrix}\)

Giải

Bước 1: Viết công thức định thức Det(A):

Det(A) = (3 * 4) – (2 * m)

Bước 2: Đặt định thức lớn hơn 0 và giải phương trình:

(3 * 4) – (2 * m) > 0

12 – 2m > 0

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của m:

-2m > -12

m < 6

Vậy, để định thức A lớn hơn 0, giá trị của m phải nhỏ hơn 6.

Bài 2: Tìm giá trị của m để det ma trận lớn hơn 0

\begin{vmatrix}
1 & 2& 3\\
4 & 5& m\\
6 & 7& 8
\end{vmatrix}

Giải

Bước 1: Viết công thức định thức Det(A):

Det(A) = 1 * (5 * 8 – 7 * m) – 2 * (4 * 8 – 6 * m) + 3 * (4 * 7 – 6 * 5)

Bước 2: Đặt định thức lớn hơn 0 và giải phương trình:

1 * (5 * 8 – 7 * m) – 2 * (4 * 8 – 6 * m) + 3 * (4 * 7 – 6 * 5) > 0

40 – 28m – 64 + 12m + 28 – 30 > 0

-16m + 2 > 0

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của m:

-16m > -2

m < 1/8

Vậy, để định thức của ma trận A lớn hơn 0, giá trị của m phải nhỏ hơn 1/8.

10. Ứng dụng của định thức

Trong đại số tuyến tính, định thức thường được tính bằng cách sử dụng các phần tử của ma trận vuông. Tính định thức được sử dụng để giải quyết giải hệ phương trình tuyến tính, tính ma trận nghịch đảo của ma trận,…

Câu hỏi liên quan

Định thức bằng 0 khi nào?

Một ma trận có định thức bằng 0 khi và chỉ khi nó không khả nghịch, tức là không tồn tại ma trận nghịch đảo của nó. Một số trường hợp thường gặp khi ma trận có định thức bằng 0 là:

  • Ma trận không vuông: Một ma trận không vuông khi số hàng khác số cột.
  • Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm hoặc vô số nghiệm: Nếu một hệ phương trình tuyến tính có nhiều hơn một nghiệm hoặc không có nghiệm nào, ma trận hệ số của hệ phương trình đó sẽ có định thức bằng 0.

Định thức có âm không?

Có, định thức có thể là một giá trị âm.

Khi lấy một hàng của định thức nhân lên với số k rồi cộng vào một hàng khác thì định thức sẽ

Khi lấy một hàng của ma trận định thức, nhân nó với một số k và cộng vào một hàng khác, det sẽ không thay đổi.

Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể để minh họa việc lấy một hàng của định thức, nhân nó với một số k và cộng vào một hàng khác.

Xét ma trận sau: \(\begin{vmatrix}
1& 2 \\
3& 4
\end{vmatrix}\)

Định thức này bằng  (1*4) – (3*2) = -2

Bây giờ, chúng ta lấy hàng đầu tiên của ma trận A (hàng 1), nhân nó với số k = 2 và cộng vào hàng thứ hai. Kết quả sẽ là ma trận B:

\(\begin{vmatrix}
1& 2 \\
5& 8
\end{vmatrix}\)

Định thức B cũng được tính bằng (1*8)-(5*2) = -2

Như bạn có thể thấy, det B không thay đổi so với định thức ban đầu của ma trận A.

Khi định thức có hai hàng tỉ lệ nhau thì định thức sẽ

Khi hai hàng của ma trận tỉ lệ nhau nghĩa là một hàng có thể thu được bằng cách nhân một hằng số với hàng còn lại, thì định thức sẽ bằng 0.

Tải file tài liệu lý thuyết và bài tập vận dụng định thức ma trận PDF

Trên đây là một vài lý thuyết cơ bản cùng cách giải định thức ma trận 3×3, tính định thức 4×4, tính định thức 5×5. Nếu có bất kì thắc mắc nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net

Bài viết liên quan:

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em