Tính định thức ma trận – Bài tập có lời giải chi tiết

Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về định thức ma trận qua các dạng bài tập tính định thức cấp 4, tính định thức ma trận cấp 5 trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích.

1. Định thức ma trận là gì?

Định thức ma trận là giá trị vô hướng được tính cho một ma trận vuông nhất định. Với định thức trong đại số tuyến tính, định thức thường được tính bằng cách sử dụng các phần tử của ma trận vuông. Tính định thức được sử dụng để giải quyết giải hệ phương trình tuyến tính, tính ma trận nghịch đảo của ma trận,…

• Định thức của ma trận được biểu diễn bằng hai dòng dọc hoặc đơn giản bằng cách viết det và viết tên ma trận. ví dụ. | A |, det (A), det A
• Định thức ma trận cấp 2:

|A| =a₁₁.a₂₂ – a₂₁.a₁₂

Về mặt hình học, định thức được xem như là hệ số tỷ lệ thể tích của phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi ma trận. Nó cũng được biểu thị bằng thể tích của n chiều song song được gạch chéo bởi vectơ cột hoặc hàng của ma trận. Định thức là dương hoặc âm khi ánh xạ tuyến tính bảo toàn hoặc thay đổi hướng của không gian n.

Ví dụ 1: Tính định thức ma trận cấp 2 sau:

• Định thức ma trận cấp 3 (quy tắc Sarius):

 |A| =(a₁₁.a₂₂.a₃₃ + a₂₁.a₃₂.a₁₃ + a₁₂.a₂₃.a₃₁ ) – (a₁₃.a₂₂.a₃₁ + a₁₁.a₂₃.a₃₂ + a₁₂.a₂₁.a₃₃ )

Ví dụ 2: Giải định thức ma trận bằng phương pháp tam giác

Xem thêm: độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

2. Các định thức đặc biệt

3. Các tính chất của định thức ma trận

1.det (A.B) = det(A).det(B)

2.det ( A^T ) = det (A)

3.Nếu đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) thì det đổi dấu

4.Nếu detA có 1 cột hoặc 1 hàng = 0 thì định thức A =0

5.Nếu det có 2 hàng ( 2 cột ) tỉ lệ thì det A=0

6.Nếu nhân 1 hàng, 1 cột với một số k ≠ 0 thì det mới gấp k lần det cũ

7.Nếu A là ma trận vuông cấp n thì det (kA) = kⁿ .det (A)

Ví dụ: A_3×3 , det(A) = 5 ⇒ det(2A) = 2³.5= 40

8.Tách định thức

9.Rút nhân tử chung của 1 hàng, 1 cột ra ngoài định thức

4. Tính định thức bằng phép biến đổi siêu cấp chuyển về dạng tam giác trên

Ví dụ 3: Tính định thức ma trận

Giải:

Các bước thực hiện:

• Nhân hàng 1 với -3 vào hàng 2 để xuất hiện phần tử 0
  • a₂₁=(-3).1 + 3 =0
  • a₂₂=(-3).2+5=-1
  • a₂₃=(-3).(-1)+(-2)=1
  • a₂₄=(-3).1+0=-3
• Tương tự nhân hàng 1 với -2 vào hàng 3, nhân hàng 1 với -2 vào hàng 1 ta được

• Nhân hàng 2 với 2 vào hàng 3 để xuất hiện phần tử 0
• Nhân hàng 2 với 3 vào hàng 4, ta được

• Nhân hàng 3 với 1 vào hàng 4, ta được

• Như vậy định thức A chính là tích đường chéo: 1.(-1).3.0=0

Bài viết liên quan: ma trận chuyển cơ sở

Bài tập tính định thức ma trận

Bài 1: Tính định thức cấp 2 sau:

Bài 2: Biết các số 204,527,255 chia hết cho 17. Chứng minh định thức d chia hết cho 17

Giải

Nhân cột thứ nhất với 100 rồi cộng vào cột cuối

Nhân cột thứ hai với 10 rồi cộng vào cột cuối

Kết luận định thức chia hết cho 17 vì tích có thừa số 17

Bài 3: Cho a là ma trận vuông cấp 3 có det(a) = 3. định thức của ma trận 2a là

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: det (kA) = kⁿ .det (A)

Ta có: det(a) = 3 ⇒ det(2a) = 2³.3= 24

Bài 4: Tính định thức ma trận cấp 4

Ví dụ tính định thức cấp 4:

Bài 5: Tính định thức ma trận cấp 5

Tải file tài liệu lý thuyết và bài tập vận dụng định thức ma trận PDF

Trên đây là kiến thức cơ bản cùng cách giải định thức ma trận 3×4, tính định thức 4×4, tính định thức 5×5. Nếu có bất kì thắc mắc nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net