Hệ phương trình tuyến tính – Bài tập có lời giải

Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những kiến thức thường có trong đề thi môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ tổng hợp kiến thức cơ bản về định nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và một số dạng bài tập hệ phương trình tuyến tính cơ bản giúp bạn ôn tập dễ dàng.

1. Hệ phương trình tuyến tính là gì?

Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp của hai hoặc nhiều phương trình tuyến tính có cùng biến số giống nhau. Phương trình tuyến tính có thể có một biến, hai biến hoặc ba biến. Dưới đây là dạng tổng quát của hệ với m phương trình và n ẩn

Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:

Trong đó: 

• xi: được gọi là các ẩn của hệ
• aij: được gọi là các hệ của ẩn
• bi: được gọi là các hệ số tự do

Ký hiệu: Như chúng ta đã biết, hệ phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng ma trận. Do đó, hệ phương trình tuyến tính n biến có thể được viết dưới dạng:

Xem thêm: 

• chứng minh hệ độc lập tuyến tính
• cơ sở chính tắc

2. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.1 Định lý Kronecker – Capeli

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi:

r(A)=r(Ā)

2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramers

Có 4 phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính AX = B với điều kiện khi tính định thức A ≠ 0.

• Phương pháp Cramers
• Phương pháp nghịch đảo
• Phương pháp Gauss-Jordan
• Phương pháp loại bỏ Gauss

Sau đây mình sẽ trình bày 2 cách mình cho là dễ hiểu và dễ ăn nhất:

2.2.1. Định nghĩa hệ Cramer

Một hệ phương trình tuyến tính tổng quả được gọi là hệ Cramer nếu thoả mãn:

• số ẩn = số phương trình
• định thức ≠ 0

2.2.2 Định lý Cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức:

Trong đó: 

• A là ma trận hệ số
• Aj là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi hệ số cột tự do

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

Xét hệ phương trình tuyến tính AX=B là ma trận khả nghịch.Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là:X=A^-1B

2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B
Bước 1: Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng. Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
Bước 2: Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được gọi là các ẩn ràng buộc. Các ẩn còn lại là các ẩn tự do.

Liên quan:

• giá trị riêng của ma trận
• bài tập ánh xạ tuyến tính

3. Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương Ax=b là hệ có n ẩn

Cho hệ phương Ax=0 là hệ có n ẩn

• Hệ có nghiệm duy nhất(nghiệm tầm thường):  rank(A)=n
• Hệ có vô số nghiệm(nghiệm không tầm thường): rank(A)<n
• Đối với ma trận vuông: detA= 0 => vô số nghiệm

4. Bài tập giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m

Bài 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Giải

Ma trận bổ sung của hệ là:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là z=x=14; y=-11

Bài 2: Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Giải

Ma trận bổ sung của hệ

Thay đổi hàng 1 và hàng 3

+ Với a=1 ta có

r(A)=1

Tham khảo:

• không gian vecto con
• tìm m để ma trận nghịch đảo

Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

Giải

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì detA ≠0=> m≠0

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính vô số nghiệm toán cao cấp

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường

Hướng dẫn giải

Tải tài liệu bài tập cùng lý thuyết hệ phương trình tuyến tính môn đại số tuyến tính PDF

Ok xong trên đây là các phương pháp giải và bài tập hệ phương trình tuyến tính có ẩn m. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót gì thì đừng ngần ngại liện hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net