Hệ phương trình tuyến tính – Bài tập có lời giải

Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những kiến thức thường có trong đề thi môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ tổng hợp kiến thức cơ bản và một số dạng bài tập hệ phương trình tuyến tính cơ bản giúp bạn ôn tập dễ dàng.

1. Hệ phương trình tuyến tính

1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình, n ẩn:

Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:

Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Trong đó: 

  • xi: được gọi là các ẩn của hệ
  • aij: được gọi là các hệ của ẩn
  • bi: được gọi là các hệ số tự do

Ký hiệu: 

Kí hiệu hệ phương trình tuyến tính

2. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.1 Định lý Kronecker – Capeli

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi:

r(A)=r(Ā)

2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

2.2.1. Định nghĩa hệ Cramer

Một hệ phương trình tuyến tính tổng quả được gọi là hệ Cramer nếu thoả mãn:

  • số ẩn = số phương trình
  • định thức ≠ 0

2.2.2 Định lý Cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức:

Định lý cramer

Trong đó: 

  • A là ma trận hệ số
  • Aj là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi hệ số cột tự do

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

Xét hệ phương trình tuyến tính AX=B là ma trận khả nghịch.Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là:X=A-1B

2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B
Bước 1: Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng. Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
Bước 2: Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được gọi là các ẩn ràng buộc. Các ẩn còn lại là các ẩn tự do.

3. Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương Ax=b là hệ có n ẩn

Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương Ax=0 là hệ có n ẩn

  • Hệ có nghiệm duy nhất(nghiệm tầm thường):  rank(A)=n
  • Hệ có vô số nghiệm(nghiệm không tầm thường): rank(A)<n
  • Đối với ma trận vuông: detA= 0 => vô số nghiệm

4. Bài tập giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m

Bài 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

ví dụ hệ phương trình tuyến tính

Giải

Ma trận bổ sung của hệ là:

ví dụ hệ phương trình tuyến tính 2

ví dụ hệ phương trình tuyến tính3

ví dụ hệ phương trình tuyến tính 4

ví dụ hệ phương trình tuyến tính 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là z=x=14; y=-11

ví dụ hệ phương trình tuyến tính 5

Bài 2: Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Giải

Ma trận bổ sung của hệ

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2

Thay đổi hàng 1 và hàng 3

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 3

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 4

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 6

+ Với a=1 ta có

r(A)=1

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 7

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 8

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 8

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 9

Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 10

Giải

biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 12

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì detA ≠0=> m≠0

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính vô số nghiệm toán cao cấp

Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính vô số nghiệm

Biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính vô số nghiệm

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường

Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường

Hướng dẫn giải

Biện luận hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường

Biện luận hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường

Tải file bài tập cùng lý thuyết hệ phương trình tuyến tính môn đại số tuyến tính PDF

Nhập mã xác thực để lấy link:

Vào google search tìm...... >> đai giữ áo sơ mi hà nội >>........Click kết quả đầu tiên ... Kéo xuống dưới cùng chỗ "Copyright @ 2022 DAISOVIN.COM | All right reserved." để lấy mã xác thực gồm 4 ký tự: Xem hướng dẫn chi tiết tại đây

Ok xong trên đây là các phương pháp giải và bài tập hệ phương trình tuyến tính có ẩn m. Nếu có bất kì thắc mắc hoặc sai sót gì thì đừng ngần ngại liện hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em