Tìm cơ sở và số chiều, cơ sở chính tắc r3 của không gian vecto

Gửi tới bạn đọc kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập về tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto trong môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích giúp các bạn ôn tập dễ dàng.

Xem thêm:

• tìm giá trị riêng của ma trận
• chéo hoá ma trận
• bài tập và cách tìm ma trận chuyển cơ sở

I. Cơ sở của không gian vecto

Định nghĩa

Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian vectơ khác vectơ 0 được gọi là cơ sở của nó.

Chú ý: Không gian vectơ 0 không có cơ sở hay số vectơ trong cơ sở của không gian vectơ không bằng 0.

S={e₁ + e₂ ,…,e_n } là cơ sở của không gian V nếu:

• S độc lập tuyến tính
• ∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n

Cơ sở chính tắc của r2

• \(R^{2}\)={a,b}
  • (a,b,c)=a(1,0)+b(0,1)S={(1,0),(0,1)
  • dim \(R^{n}=n\)
  • có 2 vecto

Cơ sở chính tắc của r3

• \(R^{3}\)={a,b,c}
  • (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
  • S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
  • dim \(R^{n}=n\)
  • có 3 vecto

Cơ sở chính tắc của không gian \(M_{2}\)

Liên quan:

• cách cộng 2 ma trận
• nhân 2 ma trận

Cơ sở chính tắc của \(P_{2}\)

• P₂={a+bx+cx²}
  • S={1,x,x²}
  • dim \(P_{n}=n+1\)
  • có 3 vecto.

Chứng minh 1 hệ là cơ sở

S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:

• S độc lập tuyến tính.
• dim V= số phần tử S.

II. Số chiều của không gian vecto

Định nghĩa

Số vectơ trong một cơ sở K không gian vectơ V được gọi là số chiều của V.

Kí hiệu: \(dim_{K}V\). Nếu không cần chỉ rõ trường K cụ thể, ta có thể viết đơn giản \(dimV\).

III. Cách tìm dim của ma trận

Số chiều không gian V=dimV=n= số phần tử.

• dim của không gian r2,r3: \(R^{n}=n\).
• dim của không gian \(P_{n}\): \(P_{n}=n+1\).
• dim của không gian \(M_{mxn}=m.n\)

IV. Tìm tọa độ của vecto trong cơ sở

Lưu ý:

Xem thêm: ánh xạ tuyến tính

Bài tập tìm cơ sở không gian vectơ

Hệ vecto nào là cơ sở của r2

>>>Liên quan: định thức ma trận

Chứng minh cơ sở của r3

Bài 1: Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không

a. S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R⁴

S có 3 phần tử mà dim R⁴ =4 => S không phải là cơ sở

Bài 2: Chứng minh s là một cơ sở của r3

b. S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}⊂R³

số phần tử =dim R³ =3

Xét định thức:

> phụ thuộc tuyến tính

=> S không là sơ sở

c.S={1+x,2-x+3x²,3x-x²}⊂P₂

Số phần tử=dim P₂ =3

Xét định thức:

=> độc lập tuyến tính

=> S là cơ sở

Hệ vecto nào là cơ sở của r3

a. u₁(1,2), u₂(3,4), u₃(5,6) đối với R²

-Không vì cơ sở R² có 2 vecto

b. u₁(1,2,3), u₂(3,4,5), u₃(4,5,6) đối với R³

-Có vì cơ sở R³ có 3 vecto

c. u₁(2,1), u₂(3,0) đối với R²

Số phần tử dim R² =2

Xét ma trận bổ sung

det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở

Hệ vecto nào là cơ sở của P2

Hệ vecto nào là cơ sở của M2

>>>Xem thêm: nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường

Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm

Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau

Bài tập tìm tọa độ của vecto trong cơ sở

Tìm ma trận toạ độ và vecto toạ độ của w trong cơ sở S

Tìm toạ độ của ma trận trong cơ sở

Tìm toạ độ của vecto trong cơ sở

Tìm toạ độ của vecto theo cơ sở

Ok xong, trên đây là một số kiến thức cơ bản cùng hướng dẫn cách giải các bài toàn về tìm số chiều, cơ sở, toạ độ của vecto. Nếu có bất kì thắc mắc nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu cơ sở không gian vecto trên ttnguyen.net

Tải file tài liệu Cơ sở không gian vecto giáo trình, lý thuyết, bài tập PDF

Bài viết liên quan:

• phép thế và dấu của phép thế
• dạng song tuyến tính
• bài tập matlab có lời giải