Để nhân 2 ma trận A (cỡ m×n) và B (cỡ n×p), số cột của A phải bằng số hàng của B. Phần tử hàng i, cột j của tích AB bằng tổng các tích giữa từng phần tử hàng i của A với phần tử tương ứng ở cột j của B. Kết quả là ma trận cỡ m×p. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu điều kiện để nhân 2 ma trận, quy tắc và cách nhân ma trận 2×2, 3×3, cũng như trường hợp hai ma trận cùng cấp hoặc không cùng cấp. Cùng bắt đầu tìm hiểu nhé!
Xem thêm:
Điều kiện để nhân 2 ma trận
Để nhân hai ma trận, ta phải đảm bảo một số điều kiện:
- Số cột của ma trận đầu tiên phải bằng số hàng của ma trận thứ hai. Nếu ma trận đầu tiên có kích thước m x n (m hàng và n cột), thì ma trận thứ hai phải có kích thước n x p (n hàng và p cột).
- Kết quả của phép nhân hai ma trận sẽ là một ma trận mới có kích thước m x p (m hàng và p cột).
Ví dụ: A cỡ 2×3 và B cỡ 3×4 thì AB tồn tại và có cỡ 2×4. Nhưng A cỡ 2×3 nhân B cỡ 2×3 thì không nhân được, vì 3 ≠ 2.
Lưu ý:
1. Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của A bằng số dòng của B.
2. Tồn tại cả hai tích AB và BA khi A có cấp mxn thì B phải có cấp nxm.
3. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán, nói chung AB ≠ BA.
4. A nhân được với A khi A là ma trận vuông.
Tích ma trận là gì?
Phép nhân ma trận là phép toán thực hiện trên hai ma trận, còn tích ma trận là ma trận kết quả nhận được sau phép nhân đó, thường ký hiệu là AB. Nói đơn giản: phép nhân là cách tính, tích ma trận là kết quả.
Điểm quan trọng cần nhớ là: không nhân các phần tử cùng vị trí với nhau. Khi nhân hai ma trận, ta lấy từng hàng của ma trận thứ nhất nhân với từng cột của ma trận thứ hai, sau đó cộng các kết quả lại.
Ví dụ, để tính một phần tử của (AB), ta có:
Giả sử:
\(A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},
\quad
B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np}
\end{pmatrix}
\)
Khi đó:
\(AB=C=
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1p}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mp}
\end{pmatrix}
\)
Ví dụ, để tính phần tử \(c_{ij}\), ta lấy hàng thứ \(i\) của A nhân với cột thứ \(j\) của B:
\(\boxed{c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}}
\)
Nói đơn giản: Hàng của A × Cột của B → Nhân từng cặp → Cộng lại → Ra một phần tử của ma trận C.
Cách nhân 2 ma trận không cùng cấp
Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì phải có điều kiện:
- số cột ma trận A bằng số hàng ma trận B
Lấy phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận A, ta lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân với từng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại.
Ví dụ 1:
\(\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 7\end{array}\right)_{2 x 2} \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 4\end{array}\right)_{2 x 3}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & 7 \\ 24 & 34 & 37\end{array}\right)_{2 x 3}\)Các bước tính
1.1+1.3 = 4 1.2+1.4=6 1.3+1.4=7
3.1+7.3=24 3.2+7.4=34 3.3+7.4=37
Ví dụ 2:
\(\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right) ; \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right) \Rightarrow \mathrm{AB}=\left(\begin{array}{ccc}9 & 12 & -11 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)\)Các bước tính:
1.4+2.0+5.1=9 1.0+2.1+5.2=12 1.1+2.(-1)+5.(-2)=-11
0.4+(-1).0+1.1=1 0.0+(-1).1+1.2=1 0.1+(-1).(-1)+1.(-2)=-1
Cách nhân ma trận 2×2
Ví dụ 1:
\(\begin{vmatrix}4 & 5\\
6 & 7
\end{vmatrix}.
\begin{vmatrix}
2 & 1\\
2 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
4*2+5*2 & 4*1+5*1\\
6*2+7*2 & 6*1+7*1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
18 & 9\\
26 & 13
\end{vmatrix}\)
Ví dụ 2:
\(\begin{vmatrix}2 & -3\\
4 & 1
\end{vmatrix}.
\begin{vmatrix}
5 & 2\\
-1 & 3
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
2*5+(-3)*(-1) & 2*2+(-3)*3\\
4*5+1*(-1) & 4*2+1*3
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
13 & -5\\
19 & 11
\end{vmatrix}\)
Ví dụ 3:
\(\begin{vmatrix}-2 & 3\\
5 & -4
\end{vmatrix}.
\begin{vmatrix}
-1 & 4\\
2 & -3
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
(-2)*(-1)+3*2 & (-2)*4+3*(-3)\\
5*(-1)+(-4)*2 & 5*4+(-4)*(-3)
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
8 & -17\\
-13 & 32
\end{vmatrix}\)
Cách nhân ma trận 3×3
Cách nhân ma trận 4×4
Nhân ma trận với 1 số
Nếu A là một ma trận bất kỳ và k là một số bất kỳ thì ma trận kA được tính bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với k.
Ví dụ 1:
\(3.\left(\begin{matrix}1 & 2 \\
3 & 4
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
3*1 & 3*2 \\
3*3 & 3*4
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
3 & 6 \\
9 & 12
\end{matrix}\right)\)
Ví dụ 2:
\((-2).\left(\begin{matrix}1 & -3 & 4 \\
0 & 5 & -2
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
(-2)*1 & (-2)*(-3) & (-2)*4 \\
(-2)*0 & (-2)*5 & (-2)*(-2)
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
-2 & 6 & -8 \\
0 & -10 & 4
\end{matrix}\right)\)
Ví dụ 3:
\(4.\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3 \\
0 & 4 & -1 \\
-3 & 2 & 5
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
4*1 & 4*(-2) & 4*3 \\
4*0 & 4*4 & 4*(-1) \\
4*(-3) & 4*2 & 4*5
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
4 & -8 & 12 \\
0 & 16 & -4 \\
-12 & 8 & 20
\end{matrix}\right)\)
Lưu ý: Nếu A là một ma trận bất kỳ, thì ma trận kA có kích cỡ giống A và: 0A=0 ; k0=0
Cách nhân 3 ma trận
Để nhân ba ma trận, ta áp dụng phép nhân ma trận theo thứ tự. Khi nhân nhiều ma trận, ta có một số quy tắc cần tuân theo:
- Đảm bảo rằng số cột của ma trận đứng trước bằng số hàng của ma trận đứng sau.
- Nhân hai ma trận theo thứ tự và ghi lại kết quả.
- Tiếp tục nhân kết quả của hai ma trận với ma trận tiếp theo và lặp lại quy trình như vậy cho tới khi nhân hết tất cả các ma trận.
Dưới đây là một ví dụ cụ thể về phép nhân ba ma trận:
Ma trận A:
\(\begin{vmatrix}1 & 2\\
3 & 4
\end{vmatrix}\) \(\begin{vmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{vmatrix}\) \(\begin{vmatrix}
9 & 10\\
11 & 12
\end{vmatrix}\)
Ma trận A.B:
\(\begin{vmatrix}19 & 22\\
43 & 50
\end{vmatrix}\)
Ma trận AB.C:
\(\begin{vmatrix}377 & 430\\
901 & 1030
\end{vmatrix}\)
Các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận
- Tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC).
- Tính chất phân phối đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD
- Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và α là một số bất kỳ ta luôn có: α(AB) = (αA)B = A(αB).
- Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị E (nếu phép nhân có ý nghĩa): AE = A, EB = B
- (AB)’ = B’A’.
- A và B là các ma trận vuông cùng cấp. Khi đó: |AB|= |A|.|B|
Nhân ma trận bằng máy tính cầm tay Casio fx 580 VNX
Bước 1: Nhấn phím MENU => nhấn phím 4 để chọn Matrix.
Bước 2: Gán ma trận A vào biến nhớ MatA. Nhấn phím 1 để chọn MatA => nhập 4 để khai báo ma trận có 4 dòng => nhập 4 để khai báo ma trận có 4 cột.
Bước 3: Gán ma trận B vào biến nhớ MatB.
Bước 4: Nhấn phím OPNT => nhấn phím 3 để chọn MatA, nhấn phím 4 để chọn MatB. Nhấn phím x, sau đó nhấn dấu “=” để hiển thị kết quả.
Trên đây là hướng dẫn cách nhân 2 ma trận kèm bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng. Cảm ơn bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.
Tài liệu tham khảo phép nhân ma trận PDF:
Lưu ý: Nếu không tải được tài liệu, vui lòng liên hệ ngay Fanpage để được hỗ trợ!
Bài viết liên quan
- hạng của ma trận
- ma trận bậc thang
- Bài tập chéo hoá ma trận có lời giải
- ma trận kề
- bài tập và cách tìm ma trận chuyển cơ sở