Ma trận là một trong những khái niệm nền tảng của đại số tuyến tính, xuất hiện từ giải hệ phương trình, biến đổi hình học cho đến xử lý dữ liệu và đồ hoạ máy tính. Bài viết này hệ thống lại toàn bộ phần lý thuyết: ma trận là gì, các dạng ma trận thường gặp, các phép toán và những tính chất cần nhớ.
1. Ma trận là gì?
Ma trận là một mảng hai chiều các số được sắp xếp thành các hàng và cột. Mỗi phần tử trong ma trận được định vị bằng một cặp chỉ số, thường là số nguyên không âm, một chỉ số dùng để xác định hàng và một chỉ số khác dùng để xác định cột.
Ma trận cỡ m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Ký hiệu A = (Ai,j) cỡ m × n:
\(A=\left[\begin{array}{cccc}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1, n}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2, n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
A_{m, 1} & A_{m, 2} & \cdots & A_{m, n}
\end{array}\right]\)
- Ma trận thường được đặt tên bằng chữ in hoa: A, B, C.
- Phần tử Ai,j nằm ở hàng i, cột j.
- Ma trận cỡ m × n có m·n phần tử.
Ví dụ: ma trận A cỡ 2 × 3:
\(A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]\)
Ở đây A1,2 = 2 (hàng 1, cột 2) và A2,3 = 6 (hàng 2, cột 3).
Một số cách gọi theo kích thước:
- Ma trận hàng: cỡ 1 × n (chỉ có một hàng).
- Ma trận cột: cỡ m × 1 (chỉ có một cột).
- Ma trận vuông cấp n: cỡ n × n. Các phần tử A1,1, A2,2, …, An,n tạo thành đường chéo chính.
Ví dụ ma trận vuông cấp 2:
\(\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\
4 & 5
\end{array}\right]\)
2. Các dạng ma trận đặc biệt
Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0, ký hiệu O hoặc 0.
\(O = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
Ma trận đường chéo
Ma trận vuông có mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0.
\(\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 5
\end{array}\right]\)
Ma trận đơn vị (ma trận I)
Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hay chỉ I), là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả phần tử còn lại bằng 0.
Ma trận đơn vị cấp 2:
\(I_2 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Ma trận đơn vị cấp 3:
\(I_3 = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Ma trận đơn vị đóng vai trò như số 1 trong phép nhân: với mọi ma trận vuông A cùng cấp, A·I = I·A = A.
Ma trận tam giác trên
Ma trận vuông có mọi phần tử nằm dưới đường chéo chính bằng 0. Các phần tử trên đường chéo chính và phía trên nó có thể là số bất kỳ (kể cả 0).
\(\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 4\\
0 & 3 & 5\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Tính chất: định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đường chéo chính; tích hai ma trận tam giác trên cùng cấp vẫn là ma trận tam giác trên.
Ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông có mọi phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 0. Các phần tử trên đường chéo chính và phía dưới nó có thể là số bất kỳ.
\(\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]\)
Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A cỡ m × n là ma trận AT cỡ n × m, thu được bằng cách đổi hàng thành cột (hàng i của A trở thành cột i của AT).
\(A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right] \Rightarrow A^T = \left[\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{array}\right]\)
Ma trận bậc thang
Ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu:
- Các hàng khác 0 nằm phía trên các hàng bằng 0 (hàng bằng 0, nếu có, phải ở dưới cùng).
- Với hai hàng khác 0 liên tiếp, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới nằm về bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên.
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 0 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
Ma trận bậc thang rút gọn
Là ma trận bậc thang thoả thêm hai điều kiện: phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi hàng khác 0 bằng 1, và phần tử đó là phần tử khác 0 duy nhất trong cột của nó.
\(\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
Đưa một ma trận về dạng bậc thang (hoặc bậc thang rút gọn) bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng là bước nền để tìm hạng ma trận, giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo.
3. Các phép toán trên ma trận
3.1. Hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận bằng nhau khi chúng cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau từng đôi một.
3.2. Phép cộng và phép trừ ma trận
Điều kiện: hai ma trận phải cùng cỡ. Không thể cộng hay trừ hai ma trận không cùng cấp.
Cách làm: cộng (hoặc trừ) từng cặp phần tử ở cùng vị trí.
\(\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}
5 & 6\\
7 & 8
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}
6 & 8\\
10 & 12
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right] – \left[\begin{array}{cc}
5 & 6\\
7 & 8
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}
-4 & -4\\
-4 & -4
\end{array}\right]\)
Phép trừ được định nghĩa qua ma trận đối: A − B = A + (−B), trong đó −B là ma trận có các phần tử là số đối của B. Ma trận không thể “trừ đi một số”, vì một số không phải là ma trận.
3.3. Nhân ma trận với một số
Nhân số k với ma trận A nghĩa là nhân k với mọi phần tử của A.
\(3 \left[\begin{array}{cc}1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}
3 & 6\\
9 & 12
\end{array}\right]\)
3.4. Phép nhân hai ma trận
Điều kiện nhân: số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Khi đó, ma trận A cỡ m × n nhân với ma trận B cỡ n × p cho kết quả là ma trận AB cỡ m × p.
Phần tử ở hàng i, cột j của AB bằng tổng các tích của hàng i (của A) với cột j (của B):
\((AB)_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j}\)Ví dụ: A cỡ 2 × 3, B cỡ 3 × 2 nên AB cỡ 2 × 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}
7 & 8\\
9 & 10\\
11 & 12
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}
58 & 64\\
139 & 154
\end{array}\right]\)
Chẳng hạn phần tử hàng 1, cột 1: 1·7 + 2·9 + 3·11 = 58.
Lưu ý quan trọng:
- Nếu số cột của A khác số hàng của B thì không nhân được. Ví dụ ma trận 2 × 3 không nhân được với ma trận 2 × 3.
- Hai ma trận vuông cùng cấp luôn nhân được với nhau.
- Phép nhân ma trận không giao hoán: nói chung AB ≠ BA (thậm chí một tích có thể tồn tại còn tích kia thì không).
Xem hướng dẫn chi tiết hơn tại bài nhân 2 ma trận.
3.5. Chia ma trận
Trong toán học không có phép chia ma trận theo nghĩa thông thường. Khi cần “chia A cho B”, người ta nhân A với ma trận nghịch đảo của B (điều kiện: B vuông và khả nghịch, tức định thức khác 0):
\(A B^{-1} \quad \text{hoặc} \quad B^{-1} A\)Hai kết quả này nói chung khác nhau vì phép nhân ma trận không giao hoán, nên cần nói rõ đang nhân bên phải hay bên trái. Với ma trận 2 × 2, nghịch đảo được tính theo công thức:
\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\
c & d
\end{array}\right]^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}
d & -b\\
-c & a
\end{array}\right], \quad ad-bc \neq 0\)
Xem thêm bài ma trận nghịch đảo.
4. Công thức và tính chất của ma trận
Giả sử A, B, C là các ma trận có cỡ phù hợp để các phép toán thực hiện được, k và t là các số thực.
| Tính chất | Ý nghĩa |
|---|---|
| A + B = B + A | Phép cộng có tính giao hoán |
| (A + B) + C = A + (B + C) | Phép cộng có tính kết hợp |
| A + O = O + A = A | Cộng với ma trận không |
| A + (−A) = O | Ma trận đối của A |
| k(A + B) = kA + kB | Phân phối số vô hướng với tổng ma trận |
| (k + t)A = kA + tA | Phân phối tổng hai số với ma trận |
| k(tA) = (kt)A | Kết hợp phép nhân số |
| 1·A = A, 0·A = O | Nhân với 1 và với 0 |
| (AB)C = A(BC) | Phép nhân ma trận có tính kết hợp |
| A(B + C) = AB + AC | Phân phối trái |
| (A + B)C = AC + BC | Phân phối phải |
| (kA)B = A(kB) = k(AB) | Đưa số vô hướng ra ngoài tích |
| AI = IA = A | Nhân với ma trận đơn vị |
| (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT | Tính chất của chuyển vị |
| (AB)T = BTAT | Chuyển vị của tích (đảo thứ tự) |
5. Câu hỏi thường gặp
Có cộng được hai ma trận không cùng cấp không? Không. Phép cộng và phép trừ chỉ xác định khi hai ma trận cùng số hàng và cùng số cột.
Nhân hai ma trận không cùng cấp được không? Được, nếu số cột của ma trận đứng trước bằng số hàng của ma trận đứng sau. Ví dụ ma trận 2 × 3 nhân được với ma trận 3 × 4 và cho kết quả cỡ 2 × 4.
Ma trận I là gì? Là ma trận đơn vị: ma trận vuông có đường chéo chính toàn số 1, các phần tử còn lại bằng 0.
AB có luôn bằng BA không? Không. Phép nhân ma trận nói chung không giao hoán.