Tìm hiểu về bảng phân phối xác suất đồng thời, cách tính hiệp phương sai, hệ số tương quan và một số bài tập có lời giải.
Xem thêm:
- phân phối nhị thức là gì: Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối Poisson là gì? Công thức, quy luật và bài tập
- giải bài tập xác suất thống kê chương 2 – Tổng hợp chi tiết
Bảng phân phối xác suất đồng thời
Bảng phân phối xác suất đồng thời là một bảng thể hiện xác suất của một biến ngẫu nhiên đồng thời xảy ra hai sự kiện cùng một lúc. Bảng này có thể được sử dụng để tính toán xác suất của các sự kiện kết hợp và tìm ra mối quan hệ giữa các biến.
Bảng phân phối xác suất đồng thời thường có dạng một ma trận hai chiều, với các cột và hàng thể hiện các giá trị của hai biến ngẫu nhiên. Mỗi phần tử trong bảng thể hiện xác suất của việc hai biến xảy ra cùng một giá trị.
Trong đó pij là xác suất dể X nhận giá trị bằng xi và dồng thời Y nhận giá trị là yj (i=1, 2, …, r; j= 1, 2, …, s).
Ta có pij= P[(X=xi) ∩ (Y=yj)] hay Pij= P(X=xi; Y= yj)
Hiệp phương sai
Ký hiệu: Cov(X,Y)), được xác định như sau:
\(cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] = E(XY) – E(X)E(Y)\)hay \(cov(X,Y) = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s}x_iy_jp_{ij} – E(X)E(Y) \)
– Nếu X và Y là các biến cố độc lập thì Cov(X,Y)=0. Tuy nhiên nếu Cov(X,Y)=0 thì X và Y chưa chắc đã độc lập.
– Nếu Cov(X,Y) ≠ 0, thì X và Y không độc lập hay giữa X và Y có mối liên hệ tương quan. Khi đó ta có :
\(V(\alpha X ± \beta Y) = \alpha^2 V(X) + \beta^2 V(Y) ± 2\alpha\beta cov(X,Y)\)Hệ số tương quan
Ký hiệu: \(\rho(X,Y)\), được xác định như sau:
\(\rho(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}\), trong đó \(\sigma(X)\) và \(\sigma(Y)\)là độ lệch chuẩn tương ứng của X và Y.
\(cov(X,Y) > 0\) X và Y tương quan dương (cùng chiều).
\(cov(X,Y) < 0\) X và Y tương quan âm (ngược chiều).
Xem thêm:
- phân phối Fisher – snedecor | Cách tra bảng đầy đủ PDF
- phân phối t-Student | Cách tra bảng giá trị đầy đủ PDF
- phân phối xác suất thành phần – Các đặc trưng và bài tập
Một số tính chất của hệ tương quan
\(|\rho(X, Y)| ≤ 1\\\) \(\rho(X,Y) = \rho(Y, X)\\\)\(|\rho(X, Y)| = 1\) (hay \(|\rho(X, Y)|≈1\)) thì giữa X và Y có mối tương quan tuyến tính, nghĩa là:
\(Y= aX+b \)hoặc \(X= cY+ d\).
Nếu \(\rho(X, Y) > 0\) thì giữa X và Y có mối tương quan thuận. Nếu \(\rho(X, Y) < 0\) thì giữa X và Y có mối tương quan nghịch.
Bài tập tính hiệp phương sai và hệ tương quan
Tính hiệp phương sai và hệ tương quan sau:
= (1.1.0,1 + 1.2.0,25 + 1.3.0,1 + 2.1.0,15 + 2.2.0,05 + 2.3.0,35 – 1,55.2,2 = 0,09\\
\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(x)\sigma(Y)} = \frac{0,09}{0,4975.0,812}=0,222\)
Bài tập phân phối xác suất đồng thời
Bài 1: Lợi nhuận (tỉ đồng) khi đầu tư vào hai dự án A, B lần lượt là các biến ngẫu nhiên X, Y có phân phối xác suất đồng thời:
| Y\X | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
| 3 | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
1. Tính xác suất từ bảng
2. Tìm bảng phân phối xác suất biên theo các biến và tính các tham số đặc trưng tương ứng
3. Tính hiệp phương sai, hệ số tương quan.
4. Tính kì vọng, phương sai của các hàm 2 biến ngẫu nhiên: Z = aX + bY +c. Đầu tư vào cả A và B theo tỉ lệ vốn lần lượt là 20% – 80%. Tính lợi nhuận trung bình và rủi ro đó của phương án này.
Giải
1. Tính xác suất từ bảng
P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – P(X = 1)= 1- [P(X = 1; Y = 2) + P(X = 1; Y = 3)] = 0,7
P(X > Y) = P(X = 3; Y = 2) = 0,2
P(X + Y < 5) = P(X = 1; Y = 2) +P(X = 1; Y = 3) +P(X = 2; Y = 2) = 0,2 +0,1 +0,2 = 0,5
2. Bảng phân phối xác suất thành phần
E(X) = 1,9 ; E(Y) = 2,5
V(X) = 0,49 ; V(Y) = 0,25
3. Tính hiệp phương sai, hệ số tương quan:
E(XY) = 0,2.2.1 + 0,2.2.2 + 0,1.3.2 + 0,1.1.3 + 0,3.2.3 + 0,1.3.3 = 4,8
Cov(X, Y) = 4,8 – 1,9.2,5 = 0,05 >0
\(\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(x)\sigma(Y)} = \frac{0,05}{\sqrt{0,49}.\sqrt{0,25}}=0,143\)4. Tính kì vọng, phương sai của các hàm 2 biến ngẫu nhiên
Gọi Z : lợi nhuận (tỉ đồng) khi đầu tư vào cả A và B theo tỉ lệ vốn lần lượt là 20% – 80% =>
Z = 0,2X+0,8Y
E(Z) = E(0,2X + 0,8Y) = 0,2E(X) + 0,8E(Y) = 0,2.1,9 + 0,8.2,5 = 2,38 (tỉ đồng)
\(V(Z) = V(0,2X + 0,8Y) = 0, 2^2 V (X) + 0, 8^2 V(Y) +2.0,2.0,8Cον(Χ.Y) = 0,1956\)Tìm hàm phân phối đồng thời của X và Y
Bài 2: Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối xác suất như sau:
| X | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,3 | 0,3 | 0,4 |
| Y | -1 | 0 | 1 |
| P | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
a) Tìm phân phối xác suất của Z = X + Y
b) Tìm phân phối xác suất của T = X. Y
c) Tìm phân phối đồng thời của (X, Y)
Giải
a) Bảng phân phối xác suất của Z = X + Y
| Y\X | 1 | 2 | 3 |
| -1 | 0
0,12 |
1
0,12 |
2
0,16 |
| 0 | 1
0,09 |
2
0,09 |
3
0,12 |
| 1 | 2
0,09 |
3
0,09 |
4
0,12 |
| Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0,12 | 0,21 | 0,34 | 0,21 | 0,12 |
b) Tìm phân phối xác suất của T = X. Y
| Y\X | 1 | 2 | 3 |
| -1 | -1
0,12 |
-2
0,12 |
-3
0,16 |
| 0 | 0
0,09 |
0
0,09 |
0
0,12 |
| 1 | 1
0,09 |
2
0,09 |
3
0,12 |
| T | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,16 | 0,12 | 0,12 | 0,3 | 0,09 | 0,09 | 0,12 |
c) Tìm phân phối đồng thời của (X, Y)
| Y\X | 1 | 2 | 3 |
| -1 | 0,12 | 0,12 | 0,16 |
| 0 | 0,09 | 0,09 | 0,12 |
| 1 | 0,09 | 0,09 | 0,12 |
Bảng phân phối xác suất đồng thời có thể được sử dụng để tính toán xác suất của các sự kiện kết hợp, như xác suất của sự kiện “X=1 hoặc Y=2”, và tìm hiểu mối quan hệ giữa hai biến, như mức độ phụ thuộc giữa X và Y. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.
Bài viết liên quan:
- phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện
- phân phối đều là gì? Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối mũ – Công thức tính và bài tập có lời giải
- phân phối siêu bội – Công thức và bài tập có lời giải
- Bảng phân phối Chi bình phương, Gamma | Cách tra và bài tập
