Ước lượng điểm trong thống kê, dùng để ước tính giá trị của các tham số chưa biết trong một phân phối dữ liệu. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết ước lượng điểm là gì? công thức tính ước lượng điểm, ví dụ minh họa và bài tập ước lượng điểm có lời giải.
Xem thêm:
giải bài tập ước lượng khoảng tin cậy
bài tập kiểm định giả thuyết thống kê
1. Ước lượng điểm là gì?
Ước lượng điểm là phương pháp dùng một giá trị của thống kê mẫu thay cho một tham số tương ứng chưa biết của tổng thể.
Ví dụ, ước lượng điểm có thể là việc sử dụng giá trị trung bình mẫu để ước tính trung bình tổng thể.
2. Công thức tính ước lượng điểm
Công thức tổng quát:
Giả sử một tham số tổng thể là \(\theta\), ước lượng điểm của \(\theta\) được biểu diễn dưới dạng \(\hat{\theta}\), với:
\(\hat{\theta}=f(X_1,X_2,X_3,…,X_n)\)
Trong đó:
- \(f(X_1,X_2,X_3,…,X_n)\): Hàm ước lượng dựa trên dữ liệu mẫu \(X_1,X_2,X_3,…,X_n\)
- \(\hat{\theta}\): Thống kê ước lượng của tham số \(\theta\)
Công thức tính ước lượng điểm của trung bình \(\mu\):
\(\hat{\mu} = \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \)
Trong đó \(\overline{X}\) là trung bình mẫu
Công thức tính ước lượng điểm của phương sai \(\sigma^2\):
\(\hat{\sigma^2} = S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)
Trong đó \(S^2\) là phương sai mẫu
Công thức tính ước lượng điểm của tham số xác suất \(p\):
\(\hat{p}= f = \frac{k}{n}\)
Trong đó f là thống kê mẫu
3. Các đặc điểm của ước lượng điểm
3.1. Ước lượng không lệch
Thống kê \(\hat{θ}\) của mẫu được gọi là ước lượng không chênh lệch của tham số θ của biến ngẫu nhiên gốc X nếu:
\(E(\hat{θ}) = θ\)Ngược lại nếu \(E(\hat{θ}) ≠ θ\) thì \(\hat{θ}\) được gọi là ước lượng chệch lệch của θ.
3.2. Ước lượng hiệu quả nhất
Thống kê \(\hat{θ}\) của mẫu được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của tham số θ của biến ngẫu nhiên gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó.
4. Ví dụ về ước lượng điểm
Giả sử bạn có một mẫu ngẫu nhiên gồm 5 giá trị: X={3,5,7,2,4}. Để ước lượng điểm của trung bình tổng thể μ, bạn có thể tính trung bình mẫu như sau:
\(\overline{X}=\frac{3+5+7+2+4}{5}=4,2\)
5. Bài tập ước lượng điểm có lời giải
Bài 1: Với mẫu ngẫu nhiên kích thước 3, xét 3 ước lượng cho trung bình tổng thể m sau:
\(G_1 = \frac{X_1 + 2X_2}{2}, G_2=\frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3}{6}, \overline{X}\)a. Đâu là ước lượng đủ.
b. Đâu là ước lượng không chênh lệch cho m?
c. Đâu là ước lượng hiểu quả cho m
Giải
a. Ước lượng đủ là sử dụng tất cả các quan sát trong mẫu, do đó: \(G_2, \overline{X}\)
b. Đâu là ước lượng không chênh lệch cho m?
c. Đâu là ước lượng hiểu quả cho m
Bài 2: Khi ước lượng cho trung bình tổng thể m, từ hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước \(n_1, n_2\)lần lượt lập hai ước lượng \(\overline{X_1}, \overline{X_2}\). Xét các lớp ước lượng tuyến tính \(G_\alpha = \alpha\overline{X_1} + (1-\alpha)\overline{X_2}, 0\le \alpha\le 1\)
a. Chứng minh \(G_\alpha\) bao gồm các ước lượng không lệch cho m?
b. Tìm ước lượng hiểu quả nhất trong \(G_\alpha\)?
Giải
a.
b.
Trên đây là lý thuyết và một vài ví dụ ước lượng điểm có lời giải môn xác suất thống kê. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.
Bài viết cùng chủ đề:
bài tập xác suất thống kê chương 1
bảng phân phối chi bình phương
