Phân phối đều là gì? Công thức và bài tập có lời giải

Đăng vào Tác giả Nguyễn Tiến Trường

Phân phối đều là một khái niệm quan trọng trong thống kê và xác suất. Nó đề cập đến một loại phân phối trong đó xác suất xảy ra của mỗi giá trị là như nhau trong một không gian mẫu. Ở bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phân phối đều: định nghĩa, công thức và một số bài tập thường gặp.

Xem thêm:

Phân phối đều là gì?

Phân phối đều, còn được gọi là phân phối đồng đều, là một loại phân phối trong xác suất thống kê mà các giá trị xảy ra có xác suất bằng nhau trên một khoảng giá trị nhất định. Trong phân phối đều, mỗi giá trị có cùng xác suất xảy ra và không có giá trị nào có xác suất xảy ra cao hơn hoặc thấp hơn so với các giá trị khác. Điều này có nghĩa là xác suất xảy ra của mỗi giá trị là đồng nhất và không phụ thuộc vào giá trị trước đó.

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều, ký hiệu \(X \sim U[a,b]\) nếu hàm mật độ của X có dạng sau:

\(f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{b-a} \text{ khi } x \in [a,b] \\
0 \text{ khi } x \notin [a,b]
\end{cases}\)

Ví dụ, nếu chúng ta ném một đồng xu không bị lệch, xác suất để mặt ngửa hoặc mặt sấp xảy ra là 1/2 cho mỗi mặt. Đây là một ví dụ về phân phối đều vì cả hai kết quả có xác suất xảy ra bằng nhau.

Hàm phân phối xác suất

\(f(x)=
\begin{cases}
0, x < a \\
\frac{x – a}{ b – a} \text{ khi } x \in [a,b] \\
1 \text{ khi } b \le x
\end{cases}\)

Trung bình và phương sai

\(\begin{aligned}
\text{Trung bình: } \mu_x &= \frac{a+b}{2} \\
\text{Phương sai: } \sigma^2_x &= \frac{(b-a)^2}{12}
\end{aligned}\)

Xem thêm:

Công thức tính

\(P(X < B) = P(X \le B) = \int_{a}^{B}f(x)dx \\\) \(P(X > A) = P(X \ge A) = \int_{A}^{b}f(x)dx \\\) \(P(A < X < B) = P(A \le X < B) = P(A < X \le B) = P(A \le X \le B) = \int_{A}^{B}f(x)dx\)

Bài tập phân phối đều có lời giải

Bài 1: Một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng hộp. Trọng lượng của hộp là biến ngẫu nhiên phân phối đều trong khoảng [1,9;2,1] (kg). Tính trọng lượng trung bình của một hộp và tỷ lệ hộp có trọng lượng từ 1,95 kg trở lên.

Giải

Gọi X là trọng lượng của mỗi hộp sản phẩm, \(X \sim U[1,9;2,1]\)

Trọng lượng trung bình của một hộp chính là

\(E(X) = \frac{a+b}{2}= \frac{1,9+2,1}{2}=2\)

Tỷ lệ hộp có trọng lượng từ 1,95 kg trở lên là:

\(P(X≥ 1,95) = P(1,95 ≤ X ≤ 2,1) = \frac{2,1-1,95}{2,1-1,9} = 0,75 = 75%.\)

Bài 2: Xe buýt xuất hiện tại bến đợi từ 7 giờ sáng và cứ 15 phút có một chuyến. Thời gian đi từ nhà đến bến đợi của cô H là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối đều trên [10; 20].

a. Tính thời gian trung bình mà cô H cần đi đến bến đợi và độ lệch chuẩn tương tứng.

b. Cô H rời nhà đi đến bến đợi lúc 7 giờ, tính xác suất cô H phải đợi xe buýt không đến 3 phút.

c. Giả sử cô H một tuần đi xe buýt 7 lần và xuất phát từ nhà lúc 7h00. Tính xác suất có ít nhất 1 lần cô H bị trễ chuyến xe lúc 7h15.

Giải

X có phân phối đều trên đoạn [10; 20].

a. Thời gian trung bình:

\(E(X) = \frac{a+b}{2}= \frac{10+20}{2}=15\)

Độ lệch chuẩn:

\(\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \sqrt{\frac{(20-10)^2}{12}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Hàm mật độ xác suất của X là:

\(f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{20-10} \text{ khi } x \in [10,20] \\
0 \text{ khi } x \notin [10,20]
\end{cases}\)

b. Xác suất cô H phải đợi xe buýt không đến 3 phút:

\(P(12\le X\le 15) = \int_{12}^{15}f(x)dx=\int_{12}^{15}\frac{1}{10}f(x)dx=0,3\)

c. Xác suất cô H trễ xe buýt lúc 7h15p

\(P(X > 15) = \int_{15}^{20}f(x)dx=\int_{15}^{20}\frac{1}{20-10}f(x)dx=0,5\)

Gọi Y là số lần cô H trễ chuyến xe lúc 7h15 trong 7 lần => Y có phân phối nhị thức n = 7, p = 0,5

Xác suất cần tìm: \(P(P \ge 1) = \sum_{x=1}^{7}\mathrm{C}_{7}^{x}(0,5)^x(1-0,5)^{7-x}\)

Xem thêm:

Bài 3:  Thời gian đi đến trường của sinh viên H là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối đều trên đoạn [A, 20]. Tính thời gian đi đến trường trung bình của sinh viên H biết rằng xác suất sinh viên H cần ít nhất 18 phút để đến trường là 0,2.

Giải

Hàm mật độ xác suất của X là:

\(f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{20-A} \text{ khi } x \in [A,20] \\
0 \text{ khi } x \notin [A,20]
\end{cases}\)

Xác suất sinh viên H cần ít nhất 18 phút để đến trường là 0,2:

\(P(X \ge 18) = \int_{18}^{20}f(x)dx=\int_{18}^{20}\frac{1}{20-A}f(x)dx=0,2 => A = 10\)

Thời gian trung bình của sinh viên H:

\(E(X) = \frac{a+b}{2}= \frac{10+20}{2}=15\)

Dấu hiệu nhận biết phân phối đều

Đề bài chứa từ khóa biến ngẫu nhiên X nhận giá trị như nhau trên đoạn giá trị [a, b].

Qua bài viết này, hy vọng bạn đã có kiến thức cơ bản về phân phối đều và có thể áp dụng nó vào làm một số bài tập chương xác suất thống kê chương 2. Cảm ơn bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.

Bài viết liên quan:

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em