Bảng phân phối Chi bình phương và Gamma là hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất thống kê, đặc biệt khi xử lý các vấn đề liên quan đến dữ liệu và mô hình phân phối. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức mà bạn cần để làm việc tốt với bảng phân phối Chi bình phương và Gamma, cùng với các ví dụ và bài tập thực hành để củng cố những kiến thức đã học.
Xem thêm:
- bảng phân phối xác suất
- phân phối nhị thức là gì: Công thức và bài tập có lời giải
- giải bài tập xác suất thống kê chương 2 – Tổng hợp chi tiết
Phân phối Gramma là gì?
Hàm Gramma
Hàm Gramma: \(\Gamma: (0, \infty )\to R\)
\(\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\)Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Gamma, ký hiệu \(x∼\Gamma(\alpha, \beta)\), với \(alpha, \beta >0\) nếu hàm mật độ của X có dạng sau:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
Hàm mật độ
Trung bình và phương sai
Cho \(x∼\Gamma(\alpha, \beta)\), ta có:
\(\begin{aligned}\text{Trung bình: } \mu_x &= \alpha \beta \\
\text{Phương sai: } \sigma^2_x &= \alpha \beta^2
\end{aligned}\)
Phân phối chi bình phương là gì?
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Chi bình phương, ký hiệu \(X ∼ \chi^2(r)\), nếu hàm mật độ của X có dạng sau:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\Gamma\left( \frac{r}{2} \right)2^{\frac{r}{2}}}x^{\frac{r}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \text{ khi } x >0\\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}
\)
Hàm mật độ
Trung bình và phương sai
\(\begin{aligned}\text{Trung bình: } \mu_x &= r \\
\text{Phương sai: } \sigma^2_x &= 2r
\end{aligned}\)
Xem thêm:
- phân phối xác suất thành phần – Các đặc trưng và bài tập
- phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện
Bài tập phân phối Chi bình phương có lời giải
Bài 1: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)2^{\frac{n}{2}}}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \text{ khi } x >0\\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}
\)
trong đó n > 0, được gọi là bậc tự do của phân phối ( X thường được gọi là phân phối chi bình phương với n bậc tự do).
a) Hãy xác định hàm sinh momen của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chi bình phương với n bậc tự do.
b) Từ kết quả của câu a) Hãy tìm kỳ vọng và phương sai của X.
c) Chứng minh rằng tổng:
\(Z_n=(Y_1)^2+(Y_2)^2+…+(Y_n)^2\)\(Y_i\); i=1,2,…,n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối chuẩn N(0,1), khi đó \(Z_n\) sẽ có phân phối chi bình phương với n bậc tự do.
d) Cho \(X_j\); i=1,2,…,n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối chuẩn tương ứng \(N(m_i, \sigma^2)\). Chứng minh rằng đại lượng \(\eta=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{j=1}^{n} X_j^2\) sẽ có phân phối “chi bình phương lệch” với n bậc tự do, nghĩa là nó sẽ có hàm mật độ tương ứng là:
\(\phi_\eta=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}exp\left( \frac{1}{2}(x+m) \right)x^{\frac{n}{2}-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j! \Gamma\left( j+\frac{n}{2} \right)}\left( \frac{mx}{4} \right)^j;x \ge 0\)trong đó: \(m=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{j=1}^{n}m_j^2\)
Hãy tìm kỳ vọng và phương sai của phân phối “chi bình phương lệch” với n bậc tự do này.
Giải
Bài tập phân phối Gamma
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
trong đó \(\alpha > 0, \beta >0 \text{ và } \Gamma(\alpha)\) là hàm Gamma xác định bởi tích phân
\(\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty }x^{\alpha-1}e^{-x}dx\)a) Hãy tính các momen gốc cấp n của X.
b) Khi \(\alpha=1, \beta =\lambda >0\), ta có phân phối mũ, với hàm mật độ:
\(f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
Hãy tính kỳ vọng và phương sai của phân phối mũ.
c) Khi \(\alpha=1, \beta = n \in N\), ta có phân phổi Erlang, với hàm mật độ:
\(f(x)=\begin{cases}
ne^{-nx} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
Hãy tính kỳ vọng và phương sai của phân phối Erlang.
d) Khi \(\alpha= n+1, \beta = 1\), ta có phân phối mũ lũy thừa, với hàm mật độ:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{n!}x^ne^{-e} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
Hãy tính kỳ vọng và phương sai của phân phối mũ lũy thừa.
Giải
Tài liệu PDF liên quan:
Hy vọng qua các bài tập đã đưa ra, bạn sẽ nắm vững hơn kiến thức về bảng phân phối chi bình phương và gamma. Cảm ơn bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.
Bài viết liên quan:
- phân phối đều là gì? Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối siêu bội – Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối Fisher – snedecor | Cách tra bảng đầy đủ PDF
