Phân phối siêu bội là một khái niệm quan trọng trong xác suất thống kê, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán chọn ngẫu nhiên không hoàn lại. Trong bài viết này, hãy cùng TTnguyen tìm hiểu về phân phối siêu bội, công thức và làm một số bài tập có lời giải giúp bạn ôn tập dễ dàng.
Xem thêm:
- phân phối nhị thức là gì: Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối poisson là gì? Công thức, quy luật và bài tập
- phân phối xác suất thành phần – Các đặc trưng và bài tập
1. Phân phối siêu bội là gì?
Phân phối siêu bội là một phân phối xác suất rời rạc, dùng để mô tả xác suất chọn được một số lượng cụ thể các phần tử có đặc điểm nhất định khi lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại từ một tập hợp hữu hạn.
Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối siêu bội, ký hiệu \(X ∼ H(N,K,n)\)
Trong đó:
- N: Tổng số phần tử trong tập hợp.
- K: Số phần tử có đặc điểm nhất định (phần tử “thành công”).
- n: Số phần tử được chọn ngẫu nhiên.
Hàm xác suất của X:
\(f(x)=\begin{cases}
\frac{{C^x_KC^{n-x}_{N-K}}}{C^n_{N}} & \text{khi } x \in [\max(0,n – N + K),\min(n,K)] \\
0 & \text{khi } x \notin [\max(0,n – N + K),\min(n,K)]
\end{cases}
\)
Trung bình và phương sai:
\(\begin{aligned}\text{Trung bình: } \mu_x &= np \\
\text{Phương sai: } \sigma^2_x &= np(1-p) \left( \frac{N-n}{N-1} \right)
\end{aligned}\)
2. Công thức phân phối siêu bội
Công thức tổng quát của phân phối siêu bội:
\(P(X=k)=\frac{{C^k_KC^{n-k}_{N-K}}}{C^n_{N}} \text{ với } \max(0,n – N + K)\le k \le \min(n,K)]\)Xem thêm:
phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện
phân phối xác suất đồng thời – Cách lập bảng có đáp án
3. Bài tập phân phối siêu bội có lời giải
Bài 1: Từ một hộp đựng 15 quả cam trong đó có 5 quả hư, lấy ra 3 quả. Gọi X là số quả hư trong 3 quả lấy ra.
a) Tính xác suất để cả 3 quả đều hư.
b) Tính trung bình và phương sai của X.
Giải
Ta có \(X ~ H(15,5,3)\). công thức tính xác suất:
\(P(X=k)=\frac{{C^k_5C^{3-k}_{15-5}}}{C^3_{15}}\)a) Xác suất để cả 3 quả đều hư
\(P(X=3)=\frac{{C^3_5C^{3-3}_{15-5}}}{C^3_{15}}=0,021978\)b) Trung bình (kỳ vọng) và phương sai của X
\(\sigma^2_x=3.\frac{5}{15}\left( 1-\frac{5}{15} \right) \left( \frac{15-3}{15-1} \right)=\frac{4}{7}\)Bài 2: Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Giải
Ta có: N = 8000 K = 2000 n = 10.
Gọi X số sản phẩm trong đạt tiêu chuẩn trong 10 sản phẩm lấy ra, \(X~H(8000, 2000,10)\)
Công thức tính xác suất:
\(P(X = k) = \frac{C_{2000}^ kC_{6000}^{10 – k}}{C_{8000} ^ {10}}\)Xác suất lấy hai sản phẩm không đạt tiêu chuẩn
\(P(X = 2) = \frac{C_{2000}^ 2C_{6000}^{10 – 2}}{C_{8000} ^ {10}}\)Xem thêm:
bài toán lấy ngẫu nhiên có hoàn lại, không hoàn lại, lấy cùng lúc hoặc lần lượt
Bài 3: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 30 nữ. Cần chọn ra 10 bạn để tham gia vào công tác chuẩn bị cho 1 hoạt động sắp tới của trường. Nếu ta chọn các bạn trên một cách ngẫu nhiên, xác suất để số sinh viên nữ được chọn không quá 3 là bao nhiêu? Xác suất để chọn được ít nhất 1 sinh viên nữ là bao nhiêu?
Giải
Gọi X là số sinh viên nữ trong số 10 sinh viên được chọn.
\(X ~ H(50, 30, 10)\)Xác suất để số sinh viên nữ được chọn không quá 3 là:
\(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \\=\frac{\mathrm{C}_{30}^{0}\mathrm{C}_{20}^{10} + \mathrm{C}_{30}^{1}\mathrm{C}_{20}^{9}+\mathrm{C}_{30}^{2}\mathrm{C}_{20}^{8}+\mathrm{C}_{30}^{3}\mathrm{C}_{20}^{7}}{\mathrm{C}_{50}^{10}}=0.365
\)
Xác suất để có ít nhất 1 nữ là:
\(P( \ge 1) = 1 – P(X<1) \\=1-P(X=0) \\
=1-\frac{\mathrm{C}_{30}^{0}\mathrm{C}_{20}^{10}}{\mathrm{C}_{50}^{10}}\)
Bài 4: Cho đại lượng ngẫu nhiên X, nhận các giá trị nguyên dương với các xác suất tương ứng là:
\(P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_{n_1}^{k}\mathrm{C}_{n_2}^{r-k}}{\mathrm{C}_{C_{n_1+n_2}}^{r}};k=0,1,2,…,r\)trong đó: \(k \le r; k \le n_1; r-k \le n_2; n_1 \in N; n_2 \in N\)
a) Hãy tìm kỳ vọng của X
b) Hãy tìm phương sai của X
Hi vọng rằng sau bài viết này, kiến thức về phân phối siêu bội của bạn sẽ được cải thiện đáng kể. Cảm ơn bạn đã tham khảo xác suất thống kê trên ttnguyen.net.
Bài viết liên quan:
phân phối mũ – Công thức tính và bài tập có lời giải
bảng phân phối chi bình phương, Gamma | Cách tra và bài tập
giải bài tập xác suất thống kê chương 2 – Tổng hợp chi tiết
kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình
