Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu về phân phối mũ, cách tính toán các tham số của phân phối và ứng dụng của nó trong thực tế. Cùng với đó là giải quyết các bài toán liên quan đến phân phối mũ, từ việc tính xác suất xảy ra sự kiện trong một khoảng thời gian nhất định đến sử dụng phân phối mũ để dự đoán thời gian giữa các sự kiện.
Xem thêm:
- bảng phân phối xác suất
- phân phối nhị thức là gì: Công thức và bài tập có lời giải
- giải bài tập xác suất thống kê chương 2 – Tổng hợp chi tiết
Phân phối mũ là gì?
Phân phối mũ là một phân phối xác suất trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó được sử dụng để mô hình hóa thời gian giữa các sự kiện độc lập, với mỗi sự kiện có cùng xác suất xảy ra trong một khoảng thời gian xác định.
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ, ký hiệu \(X ∼ Exp(λ)\) nếu hàm mật độ của X có dạng sau:
\(f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} \text{ khi } x > 0 \\
0 \text{ khi } x \le 0
\end{cases}\)
Hàm phân phối xác suất
\(F(x) = 1 – e^{-\lambda e}\)Phương sai và trung bình
Trung bình: \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)
Phương sai: \( \sigma^2_x= \frac{1}{\lambda^2} \)
Công thức tính xác suất phân phối mũ
Chú ý: \(B \ge A > 0\)
\(P(X < B) = P(X \le B) = 1 – e^{- \lambda B} \\\) \(P(X > A) = P(X \ge A) = e^{- \lambda A} \\\) \(P(A < X < B) = P(A \le X < B) = P(A < X \le B) = P(A \le X \le B) = e^{-\lambda A} – e^{- \lambda B}\)Xem thêm:
- phân phối xác suất thành phần – Các đặc trưng và bài tập
- phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện
Bài tập phân phối mũ có lời giải
Bài 1: Tuổi thọ (tính theo giờ) của một trò chơi điện tử bấm tay là một biến số ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như sau:
\(f(x)=\begin{cases}
ke^{-\frac{x}{100}} \text{ khi } x \ge 0 \\
0 \text{ khi } \lt \le 0
\end{cases}\)
a) Tìm hằng số k.
b) Tính xác suất tuổi thọ của trò chơi này nằm trong khoảng từ 50 đến 150 giờ.
c) Tính xác suất tuổi thọ của trò chơi này ít hơn 100 giờ.
Giải
a) Tìm hằng số k. Ta có:
+) Vì f (x) là hàm mật độ nên f(x) ≥ 0⇒k>0
\(\begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx &= 1 \Leftrightarrow \int_0^{+\infty} ke^{-\frac{x}{100}} dx = 1 \\
&\Rightarrow k \int_0^{+\infty} e^{-\frac{x}{100}} dx = 1 \\
&\Leftrightarrow \left(-100ke^{-\frac{x}{100}} \right)\Bigg|_0^{+\infty} =1\\
&\Leftrightarrow -100k = -1 \\
&\Leftrightarrow k = \frac{1}{100}
\end{aligned}\)
b) Tính xác suất tuổi thọ của trò chơi này nằm trong khoảng từ 50 đến 150 giờ. Ta có:
\(P(50 \leq X \leq 150) = \int_{50}^{150} f(x) dx \\= \frac{1}{100}\int_{50}^{150} e^{-\frac{x}{100}} dx\\
= -e^{-\frac{x}{100}} \Bigg|_{50}^{150} = e^{-\frac{1}{2}} – e^{-\frac{3}{2}} \approx 0.3834.
\)
c) Tính xác suất tuổi thọ của trò chơi này ít hơn 100 giờ. Ta có:
\(P(X < 100) = \int_{-\infty}^{100} f(x) dx = \frac{1}{100} \int_{0}^{100} e^{-\frac{x}{100}} dx\\= -e^{-\frac{x}{100}} \Bigg|_0^{100}
= 1 – e^{-1} \approx 0,632.\)
Bài 2: Thời gian sử dụng của một loại sản phẩm M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: năm) có phân phối mũ với thời gian sử dụng trung bình là 4 năm.
a. Tính tỷ lệ sản phẩm M có thời gian sử dụng từ 3 đến 5 năm.
b. Giả sử kiểm tra 20 sản phẩm M. Tính xác suất có ít nhất 10 sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình.
Giải
Thời gian sử dụng trung bình là 4 năm:
\(E(X) = 4 => \frac{1}{\lambda}=4 => \lambda = 0,25\)a. Tỷ lệ sản phẩm M có thời gian sử dụng từ 3 đến 5 năm:
\(P(3\le X \le 5) = F(5) – F(3) = e^{-0,25.3} – e^{-0,25.5} = 0,1858617559\)b. Xác suất sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình:
\(P(X > E(X))=P(X > 4) = 1-F(4)=e^{-0,25.4}=\frac{1}{e}\)Gọ Y là số sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình trong 20 sản phẩm => Y có phân phối nhị thức với n =20, p = 1/e.
Xác suất cần tìm:
\(P(Y \ge 10) = \sum_{x=10}^{20}\mathrm{C}_{20}^{x}\left( \frac{1}{e} \right)^{x}\left( 1-\frac{1}{e} \right)^{20-x}\)Bài 3: Tuổi thọ X (đơn vị: năm) của sản phẩm do nhà máy M sản xuất là biển ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ = 0,1.
a. Mua sản phẩm của nhà máy M và đã sử dụng rồi. Tính xác suất sản phẩm này sử dụng thêm được ít nhất 10 năm nữa.
b. Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm và tính xác suất sản phẩm này có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình.
c. Cần đặt ra thời hạn bảo hành sản phẩm là bao lâu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành không quá 20%.
Giải
Gọi t là thời gian đã sử dụng của sản phẩm M.
Xác suất cần tìm:
\(P(X \ge 10 + t | X > t) = \frac{1- F(10+t)}{1-F(t)}=\frac{e^{-0,1(10+t)}}{e^{-0,1t}}=\frac{1}{e}\)b. Tuổi thọ trung bình của sản phẩm:
\(E(X)=\frac{1}{\lambda}=10\)Xác suất 1 sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình:
\(P(X > E(X))=P(X > 10)=1-F(10)=e^{-0,1.10}=\frac{1}{e}\)c. Gọi a là thời gian bảo hành, tỉ lệ sản phẩm cần bảo hành:
\(P(X \le a) = 20 \% \) \(=>F(a) \le 0,2 => 1-e^{-0,1a} \le 0,2 \\=> e^{-0,1a} \le 0,8 => -0,1a \ge ln 0,8 \\
=> a \le -\frac{ln 0,8}{0,1} = 2,2314355\)
Lời kết
Phân phối mũ thường được sử dụng trong lĩnh vực xác suất và thống kê để mô phỏng thời gian giữa các sự kiện xảy ra độc lập và không có sự kết hợp. Ví dụ, phân phối mũ có thể được sử dụng để mô phỏng thời gian giữa các cuộc gọi điện thoại đến một trung tâm dịch vụ khách hàng hoặc thời gian giữa các lỗi xảy ra trong hệ thống. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net.
Tài liệu tham khảo:
Bài viết liên quan:
- phân phối đều là gì? Công thức và bài tập có lời giải
- phân phối siêu bội – Công thức và bài tập có lời giải
- Bảng phân phối Chi bình phương, Gamma | Cách tra và bài tập
