Trực giao và trực chuẩn là hai khái niệm được sử dụng trong lĩnh vực thống kê và đại số tuyến tính. Sau đây hãy cùng TTnguyen tìm hiểu định nghĩa và một số bài tập tìm cơ sở trực chuẩn và trực giao nhé.
Xem thêm:
1. Trực giao là gì?
– Hai vector được gọi là trực giao nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Nghĩa là nếu hai vector v và w là trực giao, thì v.w = 0. Điều này có nghĩa là hai vector không có sự tương quan tuyến tính với nhau. Ví dụ, vector (1, 0) và (0, 1) là trực giao vì (1, 0).(0, 1) = 0.
– x, y trực giao <=> <x, y> = 0. Ký hiệu: x ⊥ y.
– \(S=\left\{ x_1, x_2, x_3,…,x_n \right\}\) hệ trực giao <=> \(x_i \bot x_j, \forall i \neq j\)
2. Cơ sở trực chuẩn
– Một vector được gọi là trực chuẩn nếu nó có độ dài bằng 1. Nghĩa là ||v|| = 1. Điều này tương tự như việc đoạn thẳng từ gốc tọa độ đến điểm đó có độ dài bằng 1. Ví dụ, vector (0, 1) và (1/√2, 1/√2) đều là các vector trực chuẩn.
– \(S=\left\{ x_1, x_2, x_3,…,x_n \right\}\) hệ trực chuẩn khi
- S là trực giao.
- \(\left\| x_j \right\|=1, \forall j\)
Cơ sở S là hệ trực chuẩn gọi và cơ sở trực chuẩn.
3. Trực giao hóa
\(S=\left\{ x_1, x_2, x_3,…,x_n \right\}\) trực giao hóa S.
\(y_1=x_1\) \(y_2 = x_2 – \frac{\left\langle x_2, y_1 \right\rangle y_1}{\left\langle y_1,y_1 \right\rangle}\) \(y_3 = x_3 – \frac{\left\langle x_3, y_1 \right\rangle y_1}{\left\langle y_1,y_1 \right\rangle} – \frac{\left\langle x_3, y_2 \right\rangle y_2}{\left\langle y_2,y_2 \right\rangle}\) \(y_n = x_n – \sum_{i=1}^{n-1}\frac{\left\langle x_n, y_i \right\rangle y_i}{\left\langle y_i,y_i \right\rangle}\)=> Cơ sở trực giao \(S’=\left\{ y_1, y_2, y_3,…,y_n \right\}\)
=> Cơ sở trực chuẩn = \(\left\{ \frac{y_1}{\left\| y_1 \right\|},\frac{y_2}{\left\| y_2 \right\|},…,\frac{y_1}{\left\| y_1 \right\|} \right\}\)
4. Định lý
– Một hệ gồm những vecto khác không, đôi một trực giao của một không gian vectơ Oclit đều độc lập tuyến tính.
– Mọi không gian vecto Eculide n chiều (n≥2) đều có cơ sở trực chuẩn.
Bài tập
Ví dụ 1: \(S= \left\{ x_1(1,-1,0),x_2(1,0,-1) \right\}\). Trực chuẩn S.
Giải
\(y_1=x_1=(1,-1,0)\) \(y_2 = x_2 – \frac{\left\langle x_2, y_1 \right\rangle y_1}{\left\langle y_1,y_1 \right\rangle}\) \(y_2 = (1,0,-1) – \frac{1(1,-1,0)}{1+1}=\left( \frac{1}{2},0,\frac{-1}{2} \right)\)Vậy cơ sở trực chuẩn
\(e_1= \frac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}},0 \right)\) \(e_2= \frac{(\frac{1}{2},0,\frac{-1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{-1}{\sqrt{2}} \right)\)Vậy \(T=\left\{ e_1\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}},0 \right),e_2\left( \frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \right\}\)
Ví dụ 2: V là không gian vecto sinh bởi \(s=\left\{ x_1(0,1,0,1),x_2(0,1,10),x_3(1,1,1,1),x_4(1,2,1,2) \right\}\)
Tìm cơ sở trực chuẩn của V
Giải
Cơ sở V là \(S’=\left\{ x_1, x_2, x_3 \right\}\)
\(y_1=x_1=(0,1,0,1)\\\) \(y_2 = x_2 – \frac{\left\langle x_2, y_1 \right\rangle y_1}{\left\langle y_1,y_1 \right\rangle}\) \(y_2 = (0,1,1,0) – \frac{1(0,1,0,1)}{2}=\left( 0,\frac{1}{2},1,\frac{-1}{2} \right)\\\) \(y_3 = x_3 – \frac{\left\langle x_3, y_1 \right\rangle y_1}{\left\langle y_1,y_1 \right\rangle} – \frac{\left\langle x_3, y_2 \right\rangle y_2}{\left\langle y_2,y_2 \right\rangle}\) \(=(1,1,1,1) – \frac{2.(0,1,0,1)}{2} – \frac{\left( 0,\frac{1}{2},1,\frac{-1}{2} \right)}{\frac{3}{2}}\) \(=(1,\frac{-1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)Vậy cơ sở trực chuẩn
\(e_1= \frac{(0,1,0,1)}{\sqrt{2}}=\left( 0,\frac{1}{\sqrt{2}},1,\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\\\) \(e_2= \frac{(0,\frac{1}{2},1,\frac{-1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\left( 0,\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{-1}{\sqrt{6}} \right)\\\) \(e_3=\frac{(1,\frac{-1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{-\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{6} \right)\)Ví dụ 3:
Tải tài liệu cơ sở không gian trực giao và trực chuẩn PDF:
Bài viết liên quan:
