Công thức Bayes là công thức ngược của xác suất có điều kiện P(B|A) khi biết xác suất có điều kiện P(A|B) và một số thông tin khác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm định luật, cách chứng minh và hướng dẫn làm một số bài tập công thức bayes.
Xem thêm:
1. Định lý bayes là gì?
Khái niệm định lý Bayes
Định lý Bayes là một định lý trong xác suất và thống kê, được sử dụng để tính xác suất xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin đã biết trước. Công thức do nhà toán học Thomas Bayes phát triển.
Lịch sử và nguồn gốc của định lý Bayes
Thomas Bayes (1702-1761) là nhà toán học người Anh, đã phát triển công thức này để giải các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện. Công trình của ông được công bố sau khi ông qua đời và nhanh chóng trở thành nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại.
Ứng dụng định lý Bayes trong thực tế
Định lý Bayes được sử dụng rộng rãi trong:
- Trí tuệ nhân tạo: Cải thiện thuật toán học máy.
- Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên triệu chứng.
- Thống kê kinh doanh: Dự đoán xu hướng thị trường.
2. Công thức xác suất Bayes
Công thức tổng quát
Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu A, B là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0, thì từ quy tắc nhân xác suất:
Định lý Bayes
Cho \(B_{1}, B_{2},…,B_{n}\) là họ đầy đủ các biến cố và xét biến cố A với P(A) > 0. Với mỗi i=1,2,…,n, ta có:
| \(P(H_i|A)=\frac{P(H_i).P(A|H_i)}{\sum_{i=0}^{n}P(H_i).P(A|H_i)}\) |
Ý nghĩa các thành phần:
- \(P(H_i)\): Xác suất ban đầu của giả thuyết \(H_i\)
- \(P(A|H_i)\): Xác suất xảy ra sự kiện \(A\) khi \(H_i\) đúng
- \(P(H_i|A)\): Xác suất hậu nghiệm của \(H_i\) sau khi biết \(A\)
Các xác suất P(Hi) và P(A/Hi) thường được biết trước khi thực hiện phép thử và được gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất P(Hi/A), cho biết khả năng tham gia của Hi, vào việc xảy ra biến cố A, được gọi là xác suất hậu nghiệm.
Xem thêm: quy tắc cộng xác suất
Chứng minh công thức Bayes
Áp dụng công thức nhân xác suất:
\(P(A).P(H_i|A)=P(AH_i)=P(H_iA)=P(H_i).P(A|H_i)\)và công thức xác suất toàn phần
\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i).P(A|B_i)\)ta suy ra:
\(P(H_i|A)=\frac{P(H_i).P(A|H_i)}{P(A)}=\frac{P(H_i).P(A|H_i)}{\sum_{i=0}^{n}P(H_i).P(A|H_i)}\)3. Công thức bayes dùng khi nào?
Công thức Bayes được sử dụng trong các bài toán xác suất và thống kê để tính toán xác suất điều kiện dựa trên thông tin có sẵn. Một số trường hợp khi cần sử dụng công thức Bayes bao gồm:
- Khi có thông tin xác suất ban đầu và muốn tính toán xác suất sau khi có thêm thông tin mới.
- Khi có thông tin xác suất rời rạc (discrete) và muốn tính toán xác suất xảy ra của một sự kiện khác.
- Khi muốn tính toán xác suất hậu nghiệm (posterior probability) của một giả thuyết dựa trên dữ liệu thực tế.
- Khi muốn tính toán xác suất của một giả thuyết dựa trên xác suất liên tục (uniform prior probability).
- Khi muốn phân loại dữ liệu dựa trên các đặc trưng và thông tin xác suất đã biết.
4. Giải bài tập công thức Bayes
Bài 1: Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi.
a. Tính xác suất để lấy được bi trắng.
b. Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I.
Giải
a. Cách 1: P(A)= P(H0).P(A|H0)+ P(H1).P(A|H1)+ P(H2).P(A|H2)=7/12
Cách 2: Gọi K1 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I
Gọi K2 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II
\(P(K1)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{12}^{1}}\)
\(P(K2)=\frac{C_{10}^{1}}{C_{12}^{1}}\)
\(P(A|K1)=\frac{C_{5}^{1}}{C_{10}^{1}}\)
\(P(A|K2)=\frac{C_{6}^{1}}{C_{10}^{1}}\)
P(A)=P(K1)P(A|K1)+P(K2)P(A|K2)=7/12
b. \(P(K1|A)=\frac{P(K1)P(A|K1)}{P(A)}=\frac{1}{7}\)
Bài 2: Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có 60% về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn 20% số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là 80%. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là 90%.
a. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
b. Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.
Giải
a.Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
\(\overline{B}\) là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay => P(E1)=0,6, P(B|E1)=0,3
E2 là biến cố tan học đi chơi game => P(E2)=0,2, P(B|E2)=0,8
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn => P(E3)=0,2 , P(B|E3)=0,9
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
P(B)=P(E1).P(B|E1)+P(E2).P(B|E2)+P(E3).P(B|E3)
=> P(B)=0,52
=> \(P(\overline{B})=0,48\)
b. Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:
\(P(E_3|B)=\frac{P(E_3).P(B|E_3)}{P(B)}=0,375\)
Bài 3: Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là : I ; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05 .Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III..
a) Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó. Tính XS để được linh kiện tốt.
b) Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
Giải
Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I=> \(P(E1)=0,04, P(\overline{E1})=0,96\)
E2 là biến cố phế phẩm máy số II=> \(P(E2)=0,03, P(\overline{E2})=0,97\)
E3 là biến cố phế phẩm máy số III=> \(P(E3)=0,05, P(\overline{E3})=0,95\)
Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt
a. Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là
\(P(B)= \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96+\frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97+\frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95\)
\(=0,96\)b. Gọi \(\overline{B}\) là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt
\(P(\overline{B})=1-P(B)=0,04\)
\(P(E1|\overline{B})=\frac{P(E1).P(\overline{B}|E1)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04}=0,26\)
\(P(E2|\overline{B})=\frac{P(E2).P(\overline{B}|E2)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04}=0,3\)
\(P(E3|\overline{B})=\frac{P(E3).P(\overline{B}|E3)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04}=0,41\)
Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất
Dùng công thức Bayes giúp tối ưu hóa việc tính toán xác suất và đưa ra các quyết định dựa trên thông tin có sẵn. Cảm ơn bạn đã theo dõi trên ttnguyen.net.
Tải tài liệu định luật bayes PDF:
Bài viết liên quan:
