Bài tập công thức xác suất đầy đủ và Bayes có lời giải

Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes là là một trong những công thức quan trọng trong học tập cũng như được ứng dụng nhiều trong đời sống. Sau đây TTnguyen xin gửi tới bạn một số bài tập công thức xác suất đầy đủ trong môn Xác suất thống kê.

1. Xác suất đầy đủ

1.1 Hệ đầy đủ các biến cố

Nhóm các biến cố A1, A2, … An của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:

Nhóm đầy đủ

1.2 Ví dụ một nhóm đầy đủ

Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi {A1,A2,A3} lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ {A1,A2,A3} là đầy đủ.

1.3 Công thức xác suất đầy đủ

Với H1, H2, H3 nhóm đầy đủ biến cố, công thức xác suất đầy đủ là:
P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3)

Xem thêm: Sơ Đồ Venn trong xác suất thông kê – Bài tập có lời giải chi tiết

1.4 Bài tập công thức xác suất đầy đủ

Bài 1: Một hộp có 4 viên bị gồm hai màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng
Hướng dẫn giải

H4 4 bi trắng P(A|H4)=4C2/4C2=1
H3 3 trắng, 1 đen P(A|H3)=3C2/4C2=1/2
H2 2 trắng, 2 đen P(A|H2)=1/6
H1 1 trắng, 3 đen P(A|H1)=0
H0 0 trắng, 4 đen P(A|H0)=0

Gọi A là biến cố lấy được 2 bi trắng
=> P(A)= P(H4)P(A|H4)+P(H3)P(A|H3)
+P(H2)P(A|H2)+P(H1)P(A|H1)+P(H0)P(A|H0)
=0,2.1+0,2.1/2+0,2.1/6+0+0=1/3

Bài 6:(Giải bài tập giáo trình xác suất thống kê chương 1 bài 19):
Có hai hộp đựng phiều thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Sinh viên A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai.
a. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Tính xác suất để sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu .
b) Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để sinh viên trả lời được câu hỏi trong phiếu.
c) Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ hai
Hướng dẫn giải
a.Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1
E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2
E1,E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ
Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc
B=(E1∩B)∪(E2∩B)
=> P(B)=P(E1)P(B|E1)+P(E2)P(B|E2)
\(P(E1)=\frac{C_{1}^{1}}{C_{2}^{1}}=\frac{1}{2}\)
\(P(E2)=\frac{C_{1}^{1}}{C_{2}^{1}}=\frac{1}{2}\)
\(P(B|E1)=\frac{C_{10}^{1}}{C_{15}^{1}}=\frac{2}{3}\)
\(P(B|E2)=\frac{C_{8}^{1}}{C_{9}^{1}}=\frac{8}{9}\)
=> P(B)=\(\frac{7}{9}\)
b.Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2
Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2
Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc
E1,E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ
B xảy ra với 1 trong 2 biến cố
B=(E1∩B)∪(E2∩B)
=> P(B)=P(E1)P(B|E1)+P(E2)P(B|E2)
\(P(E1)=\frac{C_{10}^{1}}{C_{15}^{1}}=\frac{2}{3}\)
\(P(E2)=\frac{C_{5}^{1}}{C_{15}^{1}}=\frac{1}{3}\)
\(P(B|E1)=\frac{C_{9}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{9}{10}\)
\(P(B|E2)=\frac{C_{8}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{4}{5}\)
P(B)=0,942
c.Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi E3 là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2
P(C)=P(E1)P(C|E1)+P(E2)P(C|E2)+P(E3)P(C|E3)
\(P(E1)=\frac{C_{10}^{2}}{C_{15}^{2}}=\frac{3}{7}\)
\(P(E2)=\frac{C_{10}^{1}.C_{5}^{1}}{C_{15}^{2}}=\frac{10}{21}\)
\(P(E3)=\frac{C_{5}^{2}}{C_{15}^{2}}=\frac{2}{21}\)
\(P(C|E1)=\frac{C_{10}^{2}}{C_{11}^{2}}=\frac{9}{11}\)
\(P(C|E2)=\frac{C_{9}^{2}}{C_{11}^{2}}=\frac{12}{35}\)
\(P(C|E3)=\frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}}=\frac{3}{55}\)

2. Công thức xác suất Bayes

Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes (1702-1761), là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện P(B|A) khi biết xác suất có điều kiện P(A|B) và một số thông tin khác. Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu A,B là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0 thì từ quy tắc nhân xác suất:

Công thức bayes

Công thức Bayes:

\(P(Hi|A)=\frac{P(Hi).P(A|Hi)}{\sum_{i=0}^{n}P(Hi).P(A|Hi)}\)

2.1 Bài tập ví dụ về công thức Bayes

Bài 2: Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi.
a. Tính xác suất để lấy được bi trắng
b. Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I
Giải

Bài tập công thức xác suất đầy đủ

a. Cách 1: P(A)= P(H0).P(A|H0)+ P(H1).P(A|H1)+ P(H2).P(A|H2)=7/12
Cách 2: Gọi K1 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I
Gọi K2 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II
\(P(K1)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{12}^{1}}\)
\(P(K2)=\frac{C_{10}^{1}}{C_{12}^{1}}\)
\(P(A|K1)=\frac{C_{5}^{1}}{C_{10}^{1}}\)
\(P(A|K2)=\frac{C_{6}^{1}}{C_{10}^{1}}\)
P(A)=P(K1)P(A|K1)+P(K2)P(A|K2)=7/12
b. \(P(K1|A)=\frac{P(K1)P(A|K1)}{P(A)}=\frac{1}{7}\)

2.2 Bài tập xác suất áp dụng công thức bayes có lời giải

Bài 7:Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có 60% về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn 20% số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là 80%. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là 90%.
a. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
b. Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.
Giải
a.Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
\(\overline{B}\) là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay => P(E1)=0,6, P(B|E1)=0,3
E2 là biến cố tan học đi chơi game => P(E2)=0,2, P(B|E2)=0,8
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn => P(E3)=0,2 , P(B|E3)=0,9
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
P(B)=P(E1).P(B|E1)+P(E2).P(B|E2)+P(E3).P(B|E3)
=> P(B)=0,52
=> P(\(\overline{B}\))=0,48
b. Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:
\(P(E3|B)=\frac{P(E3).P(B|E3)}{P(B)}=0,375\)

Bài 8: Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là : I ; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05 .Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III..
a) Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó. Tính XS để được linh kiện tốt.
b) Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

Giải

Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I=> P(E1)=0,04, \(P(\overline{E1})=0,96\)
E2 là biến cố phế phẩm máy số II=> P(E2)=0,03, \(P(\overline{E2})=0,97\)
E3 là biến cố phế phẩm máy số III=> P(E3)=0,05, \(P(\overline{E3})=0,95\)
Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt
a. Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là
\(P(B)= \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96+\frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97+\frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95\)
\(=0,96\)
b. Gọi \(\overline{B}\) là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt
\(P(\overline{B})\)=1-P(B)=0,04
\(P(E1|\overline{B})=\frac{P(E1).P(\overline{B}|E1)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04}=0,26\)
\(P(E2|\overline{B})=\frac{P(E2).P(\overline{B}|E2)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04}=0,3\)
\(P(E3|\overline{B})=\frac{P(E3).P(\overline{B}|E3)}{P(\overline{B})}=\frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04}=0,41\)
Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất

Xem thêm: Phân phối Poisson và phân phối nhị thức xác suất thống kê

3. Bài tập công thức xác suất đầy đủ và bayes

Bài 3: Một hệ thống kỹ thuật có 5 bộ phận được kết nối theo 2 phương thức và xác suất làm việc tốt của mỗi bộ phận được cho như sau:

Bài tập công thức xác suất đầy đủ mắc nối tiếp

Hãy kết luận xem phương thức nào có độ tin cậy (xác suất làm việc tốt) cao hơn cho hệ thống kỹ thuật? Tại sao?

Giải

Gọi A là hệ thống kỹ thuật được thiết kế theo phương pháp 1
Gọi B là hệ thống kỹ thuật được thiết kế theo phương pháp 2
Gọi A1 là cụm linh kiện 1 (gồm 3 linh kiện mắc //) hoạt động tốt
Gọi A2 là cụm linh kiện 2 (gồm 2 linh kiện mắc //) hoạt động tốt
=> P(A)=P(A1).P(A2)
Gọi E1 là linh kiện 1 hoạt động tốt
Gọi E2 là linh kiện 2 hoạt động tốt
Gọi E3 là linh kiện 3 hoạt động tốt
\(\overline{A1}= \overline{E1}.\overline{E2}.\overline{E3}\)
\(P(\overline{A1})= P(\overline{E1}).P(\overline{E2}).P(\overline{E3})=0,2^3\)
\(P(A1)=1-P(\overline{A1})=1-0,2^3=0,992\)
\(P(A2)=1-P(\overline{A2})=1-0,1^3=0,999\)
=> P(A)=0,992.0,999=0,991008
Gọi F1 là cụm linh kiện 1 (gồm 3 linh kiện mắc nối tiếp) hoạt động tốt
Gọi F2 là cụm linh kiện 2 (gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp) hoạt động tốt
P(B)=P(F1).P(F2)=0,8.0,9=0,72
Vậy phương thức 1 mắc song song có xác suất làm việc tốt hơn

Bài 4: (Giải bài tập giáo trình xác suất thống kê bài 16) Một gia đình dự định sinh 3 con. Tính xác suất để :
a. Trong số con sinh ra có một trai
b. Trong số con sinh ra có không quá 2 trai.
c. Trong số con sinh ra có số con trai nhiều hơn số con gái.
Giả thiết xác suất sinh con trai bằng 0,53.
Giải
a. Xác suất sinh 1 con trai:
\(C_{3}^{1}.0,53^1.(0,47)^2=0,351231\)
b. Xác suất sinh không quá 1 con trai
\(1- C_{3}^{3}.0,53^1.(0,53)^0=0,148877\)
c.Số con trai nhiều hơn con gái
\(C_{3}^{3}.0,53^3.(0,47)^0+C_{3}^{2}.0,53^2.0,47^1\)
\(=0,54\)

Bài 5(Giải bài tập giáo trình xác suất thống kê bài 16):
Một đề thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm còn mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh học kém không học gì làm bài bằng cách chọn hú họa một phương án trả lời cho mỗi câu. Tính xác
suất:
a. Học sinh đó được 13 điểm.
b. Học sinh đó bị điểm âm.
Giải
a. Để được 13 điểm thì học sinh cần trả lời đúng 5 câu và 7 câu sai
\(P(A)=C_{12}^{5}.(\frac{1}{5})^5.(\frac{4}{5})^7\)
b.Trường hợp đúng 2 câu, sai 10 câu: \(C_{12}^{2}.4^{10}\) cách
Trường hợp đúng 1 câu, sai 11 câu: \(C_{12}^{1}.4^{11}\) cách
Trường hợp sai toàn bộ: \(4^{12}\) cách
\(P(B)=\frac{C_{12}^{2}.4^{10}+C_{12}^{1}.4^{11}+4^{12}}{5^{12}}\)
\(=0,5583\)

4. Phân biệt lấy CÓ/KHÔNG HOÀN LẠI, CÙNG LÚC/LẦN LƯỢT

Bài 9: Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là phế phẩm trong trường hợp lấy hoàn lại và không lấy hoàn lại
Giải
Trường hợp có hoàn lại:
Gọi A là biến cố lấy được 2 phế phẩm
\(P(A)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}}.\frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}}\)
Trường hợp không hoàn lại
\(P(A)=\frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}}.\frac{C_{1}^{1}}{C_{9}^{1}}\)
Bài 10: Trong hộp có 3 bi trắng và 2 bi đen:
a. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 2 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 trắng 1 đen.
b. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 trắng
Giải
a. Lấy đồng thời ra 2 viên bị
Th1: 2 đen
Th2: 1 đen 1 trắng
Th3: 2 trắng
Gọi A là biến cố lấy ra đồng thời 1 bi trắng và 1 bi đen
=>\(P(A)=\frac{C_{3}^1.C_{2}^1}{C_{5}^2}=0.6\)
b. Lấy lần lượt
B là biến cố lấy lần lượt ra 1 bi trắng
=>\(P(B)=\frac{C_{3}^1.C_{2}^1+C_{2}^1.C_{3}^1}{A_{20}^2}=0.6\)

Ok xong, vừa rồi TTnguyen đã gợi ý cách giải bài tập công thức xác suất đầy đủ và bayes qua một số bài toán cơ bản. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em