Không gian vectơ Euclide là một không gian hình học trong đó các các điểm được xác định bằng cách sử dụng các hệ số số thực. Trong bài viết này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu và làm một số bài tập không gian eculide kèm lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng.
Xem thêm:
1. Không gian Eculide là gì?
Định nghĩa: Cho không gian V, trên V trang bị một phép toán nhân 2 vecto gọi là tích vô hướng.
Ký hiệu: <x, y> thỏa mãn:
– Tính chất phân phối: <x + x’, y> = <x, y> + <x’, y>
– Tính giao hoán: <x, y> = <y, x>
– Tính rút gọn: <kx, y> = k<x, y>
– Tính xác định dương: <x, x> ≥ 0 và <x, x> = 0 khi x = 0
Khi đó không gian V được gọi là không gian Eculide.
Tóm lại, không gian vectơ V được gọi là một không gian vectơ Ơclit nếu trên V có một tích vô hướng.
2. Ví dụ không gian vecto Eculide
Ví dụ 1: Cho \(R^3,u=(x_1, x_2, x_3), v = (y_1, y_2, y_3)\)
\(<u, v> = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3\)=> \(R^3\) là không gian eculide.
3. Chứng minh không gian Eculide
Bài 1: Cho \(R^2,u=(x_1, x_2), v = (y_1, y_2)\)
\(<u, v> = x_1y_1 + 2x_2y_2\)a. Chứng minh <u, v> là tích vô hướng.
b. Tính <u, v> với u = (1,-1), v = (2,3)
Giải
a.
\(<u + u’, v> = (x_1, x_1′)y_1 + 2(x_2, x_2′)y_2\) \(= (x_1y_1 + 2x_2y_2) + (x_1’y_1 + 2x_2’y_2)\) \(= <u, v> + <u’, v>\) \(<u, v> = x_1y_1 + 2x_2y_2\) \(= y_1x_1 + 2y_2x_2 = <v, u>\) \(<ku, v> = (kx_1)y_1 + 2(kx_2)y_2\) \(= k(x_1y_1 + 2x_2y_2) = k<u, v>\) \(<u, u> = x_1x_1 + 2x_2x_2 \) \(= x^{2}_{1} + 2x^{2}_{2} ≥ 0\) \(<u, u> = 0 <=> x_1 = x_2 = 0 <=> u=0 \)b.
<u, v> = 1.2 + 2.(-1).3 = -4
Bài 2: Cho \(P_1, p = a_0 + a_1x, q = b_0 + b_1x\)
\( <p, q> = a_0b_0 + a_1b_1\)a. Chứng minh <p, q> là tích vô hướng.
b. Tính <p, q> nếu p = -1 + 2x, q = 6 – 5x.
Giải
\(<p + p’, q> = (a_0, a_0′)b_0 + (a_1, a_1′)b_1\) \(= (a_0b_0 + a_1b_1) + (a_0’b_0 + a_1’b_1)\) \(= <p, q> + <p’, q>\) \(<p, q> = a_0b_0 + a_1b_1\)\(= b_0a_0 + b_1a_1 = <v, u>\)– \(<kp, q> = ka_0b_0 + ka_1b_1\)
\(= k(a_0b_0) + k(a_1b_1) = k<p, q>\) \(<p, p> = a_0a_0 + a_1a_1 \) \(= a^{2}_{0} + a^{1}_{1} ≥ 0\) \(<p, p> = 0 <=> a_0 = a_1 = 0 <=> p=0 \)b. \(<p, q> = -6 -10 = -16\)
4. Độ dài vectơ
\(\left\| x \right\| = \sqrt{\left\langle x,x \right\rangle}\)Ví dụ:
\(R^3, x = (x_1, x_2, x_3) => \left\| x \right\| = \sqrt{x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3}}\) \(P_2, p = a_0 + a_1x + a_2x^2 => \left\| p \right\| = \sqrt{a^{2}_{1} + a^{2}_{2} + a^{2}_{3}}\) \(M_{2×2}, m = \begin{pmatrix}a & b \\
c & d
\end{pmatrix} => \left\| m \right\| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}\)
5. Tính chất độ dài vecto
Tính chất 1: \(\left\| x \right\| = 0 <=> x=0\)
Tính chất 2: \(\left\| kx \right\| = \left| k \right|.\left\| x \right\|\)
Tính chất 3 (bất đẳng thức Bunhia): \(\left| \left\langle x,y \right\rangle \right| \le \left\| x \right\|.\left\| y \right\|\)
Tính chất 4: \(\left\| x \right\| – \left\| y \right\| \le \left\| x + y \right\|\le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|\)
6. Góc giữa 2 vecto
\(cos(x,y) = \frac{\left\langle x, y \right\rangle}{\left\| x \right\|.\left\| y \right\|}\)7. Bài tập không gian vecto Eculide có lời giải
Ví dụ 1: \(p = -1 + 2x + x^2, q = 2-4x\), tính <p, q>, ||p||, ||q||, cos(p, q).
Giải
\(<p, q> = (-1).2 + 2.(-4) + 1.0 = -10\) \(\left\| p \right\| = \sqrt{1+4+1}= \sqrt{6}\) \(\left\| q \right\| = \sqrt{4+16}= \sqrt{20}\) \(cos(p,q)=\frac{-10}{\sqrt{6}.\sqrt{20}}=\frac{-10}{\sqrt{20}}\)Ví dụ 2: \(u=\left( \begin{matrix}
-1 & 2 \\
6 & 1\end{matrix} \right), v =\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
3 & 3\end{matrix} \right)\), tính <u, v>, ||u||, ||v||, cos(u, v).
Giải
<u, v> = -1.1 + 2.0 + 6.3 + 1.3 = 20
\(\left\| u \right\| = \sqrt{1+4+36+1}= \sqrt{42}\) \(\left\| v \right\| = \sqrt{1+0+9+9}= \sqrt{19}\) \(cos(u,v)=\frac{20}{\sqrt{42}.\sqrt{19}}\)Ví dụ 3: u = (1, -1, 0), v = (1, 0, -1)
\(\left\langle x,y \right\rangle=x_1y_1 + 2x_2y_2 + x_3y_3\), tính <u, v>, ||u||, ||v||, cos(u, v).
Giải
<u, v> = 1.1 + 2.(-1).0 + 0.(-1) = 1
\(\left\| u \right\| = \sqrt{1.1+2(-1)(-1)+0.0}= \sqrt{3}\) \(\left\| v \right\| = \sqrt{1.1 + 2.0.0 +(-1).(-1)}= \sqrt{2}\) \(cos(u,v)=\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}\)Như vậy, qua bài viết này, TTnguyen đã cùng các bạn thảo luận về không gian ƠCLIT và những bài tập liên quan đến nó. Việc hiểu và vận dụng khái niệm về không gian Euclide là rất quan trọng trong khi học môn đại số tuyến tính.
Tài liệu tóm tắt không gian Eculide PDF:
Bài viết liên quan:
