Số phức nghịch đảo là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp tìm ra một số phức khi nhân với số phức gốc sẽ cho kết quả bằng 1. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách tính số phức nghịch đảo và các bài tập áp dụng liên quan cùng phương pháp giải.
Xem thêm:
1. Số phức nghịch đảo là gì?
Số phức nghịch đảo (hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức) của một số phức z khác không được ký hiệu là \(z^{-1}\) và được định nghĩa như sau:
Số phức nghịch đảo là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo với số phức z là bằng 1. Tức là: \(z.z^{-1} = 1\)
2. Công thức tính số phức nghịch đảo
Công thức tính số phức nghịch đảo của một số phức z là:
\(z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\)Trong đó:
- \(\bar{z}\) là số phức liên hợp của z, được tính bằng cách đổi dấu phần ảo của z.
- ∣z∣ là modul của z, tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z.
Tổng quát, để tính số phức nghịch đảo của một số phức z = a + bi, ta có công thức sau:
\(z=a+bi \) là \(z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} = \frac{(a – bi) }{(a^2 + b^2)}\)
Chúng ta hoàn toàn có thể chứng minh được:
\(z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right | ^{2}} . \bar{z} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)\)Suy ra: \(z^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)(a+bi)=\frac{a^{2}-b^{2}i^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1\)
Số phức nghịch đảo của \(z=a+bi \) là \(z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}\)
Số nghịch đảo của \(z=a+bi (z\neq 0)\) là \(z^{-1} = \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\)
Liên quan:
- Tổng hợp công thức số phức full không che
- phương trình bậc 2 số phức
3. Modun số phức nghịch đảo
Giá trị tuyệt đối (modun) của số phức nghịch đảo được tính bằng cách lấy modun của số phức gốc và lấy nghịch đảo của nó.
Cho một số phức z = a + bi, để tính modun của số phức nghịch đảo của z (\(z^{-1}\)), ta thực hiện các bước sau:
Tính modun của z: \(|z| = \sqrt{(a^2 + b^2)}\)
Lấy nghịch đảo của modun: \(\frac{1}{|z|}\)
Kết quả là giá trị tuyệt đối của số phức nghịch đảo: \(|z^{-1}| = \frac{1}{|z|}\)
4. Cách bấm máy tính số phức nghịch đảo
Bước 1: Trên máy tính Casio của các bạn nhấn phím More 2.
Bước 2: Nhập số phức z = a + bi mà đề bài đã cho vào.
Bước 3: Nhấn nút “=” thì sẽ ra được kết quả.
5. Bài tập số phức nghịch đảo có lời giải
Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i
Lời giải
Số phức nghịch đảo của z=3+4i là:
\(z^{-1}=\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^{2}-(4i)^{2}}=\frac{3-4i}{9+16}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i\)Vậy số phức nghịch đảo của số phức z=3+4i là \(z^{-1}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i\)
Bài 2: Số phức nghịch đảo của z=2-2i là:
Lời giải
\(z=2-2i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{2-2i}=\frac{1+i}{2(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2(1-i^{2})}=\frac{1+i}{2.2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\)Bài 3: Hãy tìm số nghịch đảo của số phức z=10+8i
Lời giải
\(z=10+8i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{10+8i}=\frac{10-8i}{(10-8i)(10+8i)}=\frac{10-8i}{10^{2}+8^{2}}=\frac{10-8i}{164}\) \(\Rightarrow z^{-1} = \frac{5}{82} – \frac{2}{41}i\)Vậy số phức nghịch đảo của z=10+8i là \(z^{-1}=\frac{5}{82}-\frac{2}{41}i\)
Bài 4: Tìm số phức nghịch đảo của z=1+3i
Lời giải:
\(z=1+3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{1+3i}=\frac{1-3i}{1^{2}-(3i)^{2}}=\frac{1-3i}{10}=\frac{1}{10}(1-3i)\)Bài 5: Số phức nghịch đảo của số phức \( z=\sqrt{2}-3i \) là
Lời giải
\(z=\sqrt{2}-3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2-9i^{2}}=\frac{\sqrt{2}+3i}{11}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\)Bài 6: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng với số phức liên hợp của nó. Trong các kết luận sau đây, kết luận nào là đúng?
A: z ∈R
B: |z| = 1
C: z là một số thuần ảo
D: |z| = -1
Lời giải
Với một số phức z bất kì ta luôn có:
\(z.z^{-1} = |z|^{2} \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\) (1)
Theo đề bài ta có: \(\bar{z}=z^{-1}\)
Thay vào phương trình (1) bên trên ta được:
\(\frac{1}{z}=\frac{z^{-1}}{|z|^{2}}\Leftrightarrow z.z^{-1}=|z|^{2}\Leftrightarrow 1 = |z|^{2}\) \(\Leftrightarrow |z|=1\)=> Vậy đáp án mà chúng ta nên chọn là B
Bài 7: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
A. Mô đun của số phức z là một số thực
B. Mô đun của số phức z là một số phức
C. Mô đun của số phức z là một số thực dương
D. Mô đun của số phức z là một số thực không âm.
Lời giải
Chọn đáp án C.
Số phức z = 0 có môđun |z| = 0.
Câu hỏi liên quan
Nghịch đảo số phức z bằng số phức liên hợp
Để tìm nghịch đảo của một số phức z, chúng ta sử dụng số phức liên hợp của z. Nghĩa là, nếu z = a + bi là số phức, thì số phức liên hợp của z là \(\bar{z}\) = a – bi.
Khi đó, nghịch đảo của z có thể tính được bằng công thức sau:
\(z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\)
Trong đó, \(|z|^{2}\) căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z, được tính bằng công thức:
\(|z|^{2}= \sqrt{a^2 + b^2}\)
Số phức nghịch đảo và số phức đối
Số phức nghịch đảo (hay còn được gọi là số phức nghịch đối) là một khái niệm trong toán học để tìm ra một số phức khác không khi nhân với số phức gốc, ta thu được kết quả bằng 1.
Một khái niệm khác trong số phức là số phức đối. Số phức đối được xác định là một số phức có phần ảo bằng 0, tức là chỉ có phần thực. Nếu z = a + bi là một số phức, thì số phức đối tương ứng là z’ = a + 0i = a. Điều này có nghĩa là số phức đối trùng với phần thực của số phức ban đầu.
Cách tính số phức nghịch đảo
Để tính số phức nghịch đảo của một số phức z = a + bi, chúng ta có thể làm theo các bước sau:
- Tính số phức liên hợp của z:
Số phức liên hợp của z, ký hiệu là \(\bar{z}\), được tạo ra bằng cách đổi dấu của phần ảo của z. - Tính giá trị tuyệt đối (modun) của z:
Modun của z, ký hiệu là |z|, được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z.
Modun của z được tính theo công thức: \(|z| = \sqrt{(a^2 + b^2)}\) - Tính số phức nghịch đảo của z:
Số phức nghịch đảo của z, ký hiệu là \(z^{-1}\), được tính bằng cách lấy số phức liên hợp của z và chia cho bình phương của modun của z.
Số phức nghịch đảo được tính theo công thức: \(z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\)
Trên đây là một vài kiến thức về số phức nghịch đảo bao gồm định nghĩa, công thức, cách tính và một số bài tập kèm lời giải. Cảm ơn các bạn đã theo dõi trên ttnguyen.net
Bài tiếp theo:
