Biểu diễn hình học của số phức là một khái niệm quan trọng trong toán học và đại số tuyến tính. Một số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bởi một điểm \((a, b)\) trên mặt phẳng tọa độ. Từ đó, chúng ta có thể xác định vị trí và tính chất của số phức dựa trên vị trí và quan hệ hình học giữa các điểm này trên mặt phẳng.
Đọc thêm:
1. Định nghĩa
Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Và ngược lại mỗi điểm M(a; b) sẽ biểu diễn số phức z = a + bi.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ \(\overrightarrow{u}=(a;b)\), do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b \(\in \mathbb{R}\)) cũng có nghĩa là \(\overrightarrow{OM}\) biểu diễn số phức đó.
2. Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức
Để tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó ta gọi M(x;y) biểu diễn số phức z rồi dựa vào điều kiện đã cho để tìm một hệ thức liên hệ giữa x;y mà kết luận tập hợp điểm. Nếu
a) ax + by + c = 0 thì tập hợp điểm là đường thẳng
b) (x-a)2 + (y-b)2 = r2thì tập hợp điểm là đường tròn tâm I(a;b) bán kính r.
Dựa vào biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z=a+bi. Và ngược lại mỗi điểm M(a; b) sẽ biểu diễn số phức z = a + bi.
Xem thêm: số phức nghịch đảo
3. Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Ta có: Nếu \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì
\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) biểu diễn số phức z + z’,
\(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\) biểu diễn số phức z – z’,
k\(\overrightarrow{u}\text{ }(k\in \mathbb{R})\) biểu diễn số phức kz,
\(\left| \overrightarrow{OM} \right|=\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|\), với M là điểm biểu diễn của z.
Tổng hợp công thức số phức full không che
4. Bài tập biểu diễn số phức có lời giải
4.1 Biểu diễn hình học cơ bản số phức
Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:
a) Điểm biểu diễn số phức \(z=2-3i\) có tọa độ là: \(\left(2,-3\right)\).
b) Điểm biểu diễn số phức \(z=-2i\) có tọa độ là: \(\left(0,-2\right)\).
c) Cho số phức \(z=6+7i\). Số phức liên hợp của \(z\) có điểm biểu diễn là: \(\left(6,-7\right)\).
d) Điểm biểu diễn của số phức \(z=\frac{1}{2-3i}\) là: \(\left(\frac{2}{13},\frac{3}{13}\right)\).
e) Cho số phức \(z=2016-2017i\). Số phức đối của \(z\), ký hiệu là \(-z=-2016+2017i\), có điểm biểu diễn là: \(\left(-2016,2017\right)\).
f) Cho số phức \(z=2017-2018i\). Số phức liên hợp \(\overline{z}=2017+2018i\) có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ \(\left(2017,2018\right)\).
g) Điểm biểu diễn số phức \(z=\frac{(2-3i)(4-i)}{3+2i}=-1-4i\) có tọa độ là \(\left(-1,-4\right)\).
h) Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn của số phức \(z=\frac{i^{2016}}{(1+2i)^2}\) là điểm nào?
\(z=\frac{i^{2018}}{(1+2i)^2}=\frac{i^{4.504+2}}{(-3+4i)}=\frac{i^2}{(-3+4i)}=\frac{-1}{(-3+4i)}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i\)Điểm biểu diễn của số phức \(z=\frac{i^{2016}}{(1+2i)^2}\) là điểm \(\left(\frac{3}{25},\frac{4}{25}\right)\).
Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:
a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mặt phẳng phức.
b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mặt phẳng phức.
Lời giải
a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)
Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)
b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4
z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2).
Bài 3: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn \(|z+1-i|=|z-1+2i|\)
Giả sử \(z = a + bi\) (\(a, b \in \mathbb{R}\)). Ta có:
\(\left| {z + 1 – i} \right| = \left| {z – 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b – 1)i} \right| = \left| {(a – 1) + (b + 2)i} \right|\) \(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 1)^2} = {(a – 1)^2} + {(b + 2)^2}\) \(\Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0\)Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(4x – 6y – 3 = 0\).
Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn \(|z+3i-2|=10\)
Mỗi số phức \(z = x+yi\) được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó, ta có tập số phức z thỏa mãn là:
\(|x+3i+yi-2|=10 \Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=100\) là đường tròn tâm I(2,-3) và bán kính R=10.
Bài 5: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn \(\left| z-3i \right|+ \left| i\bar{z}+3 \right|=10\).
Gọi \(z=x+yi\).
Theo bài ra, ta có \(\sqrt{x^2 +(y-3)^2} +\sqrt{(y+3)^2+ x^2} =10\).
\(\Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 \sqrt{(y+3)^2+ x^2}\).
\(\Rightarrow 10 \sqrt{(y+3)^2+ x^2} =50+6y\).
\(\Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400\).
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức theo bài toán là Elip có phương trình \(\frac{x^2}{16} +\frac{y^2}{25} =1\).
Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho \(u=\frac{z+2+3i}{z-i}\) là một số thuần ảo.
Giải:
Đặt \(z= x+ yi\) (x, y ∈ ℝ), khi đó:
\(u=\frac{\left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i}{x+\left(y-1 \right)i}=\frac{\left[ \left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i \right]\left[ x-\left(y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}}=\frac{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3 \right)+2\left(2x-y+1 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}} \)
u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1,-1), bán kính \(\sqrt{5}\), trừ điểm (0,1).
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| z-i \right|=\left| \left(1+i \right)z \right|\)
Giải:
Đặt \(z= x+ yi\) (x,y ∈ ℝ)
Ta có:
\(\begin{align}
\left| z-i \right|=\left| \left(1+i \right)z \right|\Leftrightarrow \left| x+\left(y-1 \right)i \right|=\left| \left(x-y \right)+\left(x+y \right)i \right| \\
\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}={{\left(x-y \right)}^{2}}+{{\left(x+y \right)}^{2}} \\
\end{align}\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2\)
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình \({{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2\).
4.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của số phức
Bài 8: (Vận dụng) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|\). Tìm số phức z có module nhỏ nhất.
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ ℝ) và được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Ta có \(\left| x-2+(y-4)i \right|=\left| x+(y-2)i \right|\) (1) \(\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow y=-x+4\). Do đó, tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4.
Mặt khác, \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-8x+16}=\sqrt{2{{x}^{2}}-8x+16}\)
Ta có \(\left| z \right|=\sqrt{2{{\left(x-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}\)
Vậy \({{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2\). Do đó, \(z=2+2i\).
Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn \(u=\left(z+3-i \right)\left(\overline{z}+1+3i \right)\) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
Giải:
Đặt \(z= x+ yi\) (x, y ∈ ℝ), ta có:
\(u=\left[ \left(x+3 \right)+\left(y-1 \right)i \right]\left[ \left(x+1 \right)-\left(y-3 \right)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y+6+2\left(x–y-4 \right)i\)Ta có: \(u\in ℝ\Leftrightarrow x-y-4=0\)
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng \(d: x-y-4=0\), M(x;y) là điểm biểu diễn của z. Môđun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất \(\Leftrightarrow OM\bot d\). Tìm được M(-2;2) suy ra \(z=-2+2i\).
Bài 10: (Vận dụng) Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện \(\left| \overline{z}\left(1+i \right)-3+2i \right|=\frac{\sqrt{13}}{2}\).
Giải:
Gọi \(z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})\) $\Rightarrow$ \(\bar{z}=x-yi\).
\(\left| \bar{z}\left(1+i \right)-3+2i \right|=\frac{\sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-5y+\frac{39}{8}=0\).
Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có \(M\in (C)\) là đường tròn có tâm \(I(\frac{1}{2};\frac{5}{2})\) và bán kính \(R=\frac{\sqrt{26}}{4}\).
Gọi d là đường thẳng đi qua O và I $\Rightarrow$ d: y=5x.
Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C). Ta có \({{M}_{1}}(\frac{3}{4};\frac{15}{4})\) và \({{M}_{2}}(\frac{1}{4};\frac{5}{4})\).
Ta thấy:
\(\left\{ \begin{align}
O{{M}_{1}}>O{{M}_{2}} \\
O{{M}_{1}}=OI+R\ge OM \quad (M\in (C)) \\
\end{align} \right.\)
Vậy số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay \(z=\frac{3}{4}+\frac{15}{4}i\).
Trắc nghiệm
Câu 1: Cho số phức \(z = 1 – 2i\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
A. \(Q(1;2)\)
B. \(N(2;1)\)
C. \(M(1;-2)\)
D. \(P(-2;1)\)
Câu 2. Điểm biểu diễn hình học của số phức \(z=a+ai\) nằm trên đường thẳng:
A. \(y=x\)
B. \(y=2x\)
C. \(y=-x\)
D. \(y=-2x\)
Câu 3. Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(5+8i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(-5+8i\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ \(O\).
D. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).
Câu 4. Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z=2+5i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \({z}’=-2+5i\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ \(O\).
D. Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).
Câu 5. Điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z=\frac{3+4i}{{{i}^{2019}}}\) có tọa độ là
A. \(M(4;-3)\)
B. \(M(3;-4)\)
C. \(M(3;4)\)
D. \(M(-4;3)\)
Câu 6. Trong mặt phẳng phức, gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({{z}_{1}}=-1+3i\), \({{z}_{2}}=1+5i\), \({{z}_{3}}=4+i\). Số phức với điểm biểu diễn \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành là:
A. \(2+3i\).
B. \(2-i\).
C. \(2+3i\).
D. \(3+5i\).
Câu 7. Biết \(\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) có phương trình
A. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1=0\).
B. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1=0\).
C. \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0\).
D. \({{x}^{2}}y^{2}-2y-1=0\).
Lời kết
Trên đây là lý thuyết biểu diễn hình học số phức và các bài tập vận dụng liên quan kèm đáp án. Cảm ơn các bạn đã theo dõi trên ttnguyen.net.
Bài viết liên quan:
