Tổng hợp công thức số phức toán cao cấp trong đại số tuyến tính. Các phép tính cơ bản trên số phức bao gồm cộng, trừ, nhân, chia. Công thức Euler và công thức de Moivre là hai công thức quan trọng liên quan đến số phức. Mời ae thưởng thức!
1. Khái niệm số phức
- Tập hợp số phức: C.
- Số phức dạng đại số: z = a+bi (a,b ∈ R, a là phần thực, b là phần ảo, \(i^2=-1\)).
- z là số thực => phẩn ảo của z = 0 (b=0).
- z là số thuần ảo => phần thực của z =0 (a=0).
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
- Hai số phức bằng nhau khi phần thực = phần thực; phần ảo bằng phần ảo
Xem thêm: bài tập số phức toán cao cấp có lời giải
2. Biểu diễn hình học của số phức
Cho một số phức xác định z = a+bi (với a, b là các số thực). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn dưới dạng điểm M (a;b) hoặc bởi vectơ u = (a;b). Một điểm cần lưu ý ở đây đó chính là ở mặt phẳng phức, Ox sẽ được gọi là trục thực và Oy sẽ được gọi là trục ảo.
Chi tiết bài tập: biểu diễn hình học của số phức
Công thức modun số phức
Khái niệm về môđun số phức z = a+bi có thể được hiểu là độ dài của vectơ u (a;b) biểu diễn số phức được đề cập.
Kí hiệu: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
- \(|z_1z_2|=|z_1|.|z_2|\)
- \( ||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|\)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\)
Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức \(z = a+bi\) là \(\overline{z}=a-bi\)
- \(|z|=|\overline{z}|; \ \overline{z\mp z}’=\overline{z}\pm \overline{z’}\)
- \(\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’}\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}; z.\overline{z}=a^2+b^2\)
- Nếu z là số thực thì: \(z=\overline{z}\)
- Nếu z là số ảo thì: \(z=-\overline{z}\)
Tham khảo bài tập: số phức liên hợp của số phức
Các phép tính với số phức
Dưới đây là một số phép tính giữa 2 số phức \(z_1=a_1+b_1i\) và số phức \(z_2=a_2+b_2i\) mà các em cần ghi nhớ:
Phép cộng và trừ
- \(z_1+z_2=a_1+a_2+(b_1+b_2)i\)
- \(z_1-z_2=a_1-a_2+(b_1-b_2)i\)
Công thức nhân hai số phức
- \(z_1.z_2=(a_1.a_2-b_1.b_2)+(a_1b_2+a_2.b_1)i\)
- \(kz_1=ka_1+kb_1i\), với k là số nguyên khác 0
Công thức chia hai số phức
- \(z^{-1}=\frac{1}{z^2}.\overline{z} \text{ với } z\not=0\)
- \(\frac{z’}{z}=z’.z^{-1}=\frac{z’.z}{|z|^2}=\frac{z’.z}{z.\overline{z}}\)
- \(\frac{z’}{z}=w \Leftrightarrow z’=wz\)
Phép khai căn bậc 2
\(z = x + yi\) là căn bậc hai của số phức \(w = a + bi ⇔ z^2 = w ⇔ x^2 – y^2 = a\) và 2xy = b.
w = 0 có đúng một giá trị căn bậc 2 là z= 0.
w ≠ 0 có đúng hai căn bậc 2 đối nhau.
Xem thêm: căn bậc 2 của số phức
Số phức dưới dạng lượng giác
Dạng lượng giác của số phức được biểu diễn bằng công thức có dạng: \(z=r(cos\varphi + isin\varphi)\).
Tất tần tật các dạng toán liên quan đến dạng lượng giác của số phức
Các phép toán với số phức lượng giác
Các phép toán cơ bản trên số phức lượng giác bao gồm cộng, trừ, nhân và chia. Dưới đây là các công thức phép toán cho số phức dạng lượng giác:
Cho hai số phức \(z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)\) và \(z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)\), trong đó \(r_1\), \(r_2\) là độ lớn và \(\varphi_1\), \(\varphi_2\) là acgumencủa số phức tương ứng:
– Phép cộng: \( z_1 + z_2 = (r_1 \cos \varphi_1 + r_2 \cos \varphi_2) + i(r_1 \sin \varphi_1 + r_2 \sin \varphi_2) \)
– Phép trừ: \(z_1 – z_2 = (r_1 \cos \varphi_1 – r_2 \cos \varphi_2) + i(r_1 \sin \varphi_1 – r_2 \sin \varphi_2)\)
– Phép nhân: \( z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 + \varphi_2)) \)
– Phép chia: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1 – \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 – \varphi_2)) \)
Công thức Moivre
Công thức Moivre được sử dụng để tính các lũy thừa của số phức dạng lượng giác. Cho số phức \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), công thức có dạng:
\(z^n = [r(\cos \varphi + i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))\)Phương trình bậc 2 số phức
Cho phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với a, b, \(c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\)
Xét \(\Delta = b^2 – 4ac\) ta thấy:
- Khi \(\Delta = 0\) thì phương trình có 1 nghiệm thực \(\frac{-b }{2a}\)
- Khi \(\Delta > 0\) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \(x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a}\)
- Khi \(\Delta < 0\) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \(x_{1, 2} = \frac{-b \pm i \sqrt{ |\Delta| } }{2a}\)
Hệ thức vi-et vẫn đúng trong trường số phức: \(z_1 + z_2 = \frac{-b}{a}\) và \(z_1.z_2 = \frac{c}{a}\)
phương trình bậc 2 số phức – bài tập và lời giải
Công thức Euler
Công thức Euler cho phép biểu diễn số phức dưới dạng một phép mũ của số thực, và nó được ký hiệu là \(e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)\), trong đó i là đơn vị ảo và θ là đối số của số phức.
Số phức nghịch đảo
Công thức tính số phức nghịch đảo của một số phức z là:
\(z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}\)Trong đó:
- \(\bar{z}\) là số phức liên hợp của z, được tính bằng cách đổi dấu phần ảo của z.
- ∣z∣ là modul của z, tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z.
Chi tiết bài tập số phức nghịch đảo
Việc nắm vững các công thức số phức và khả năng áp dụng chúng sẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều các dạng toán khác nhau. Cảm ơn các bạn đã theo dõi trên ttnguyen.net.
File tài liệu công thức số phức và bài tập mẫu PDF miễn phí:
Bài viết liên quan:
