Tổng hợp bài tập phép đếm của những nguyên lý cơ bản: nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý loại trừ, nguyên lý bù trừ, nguyên lý quy về đơn giản, nguyên lý truy hồi để giải bài toán đếm toán rời rạc
Tóm tắt lý thuyết về bài tập phép đếm toán rời rạc
1.Nguyên lý cộng
Bài 1: Giả sử cần chọn ra 1 đại diện học sinh tham gia dự thi Olympic Tin học. Biết thể lựa chọn học sinh khối 11 và khối 12. Hỏi có bao nhiêu lựa chọn khác nhau, nếu có 300 học sinh khối 11 và 260 em học sinh khối 12.
Giải
Có 300 cách chọn 1 học sinh khối 11
Có 260 cách chọn 1 học sinh khối 12
Theo nguyên lý cộng: 300 + 260 = 560 cách
Bài 2: Một sinh viên có thể lựa chọn đề tài từ 1 trong 3 danh sách. Mỗi danh sách lần lượt chứa 10, 20 và 30 đề tài khác nhau tương ứng. Mỗi đề tài chỉ xuất hiện trong 1 danh sách. Một sinh viên có bao nhiêu cách lựa chọn đề tài?
Giải
Sinh viên có thể chọn đề tài từ 1 trong 3 danh sách và không bị lặp lại.
Nên theo nguyên lý cộng có 10 + 20 + 30 = 60 cách
Bài 3: Giá trị k là bao nhiêu sau khi thực hiện đoạn mã sau:
k: = 0;
for i: = 1 to 5 do
k: = k + 1;
Giải
Giá trị khởi tạo k=0
Lệnh thực hiện vòng lặp 5 lần, mỗi lần k tăng thêm 1 => theo nguyên lý cộng k=5
Bài 4: Một mật khẩu có độ dài từ 7 đến 8 kí tự. Trong đó có 1 chữ cái hoa tiếng anh hoặc 1 chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất 1 chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu có thể có?
Giải
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là \(36^7\)
Số lượng mật khẩu chỉ chứa chữ cái hoa là \(26^7\)
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là \(36^8\)
Số lượng mật khẩu chỉ chứa chữ cái hoa là \(26^8\)
Vậy số lượng mật khẩu chứa ít nhất 1 chữ số là: \(36^7+36^8-26^7-26^8\)
Xem thêm: Bài tập đồ thị Euler
2.Nguyên lý nhân
Bài 1: Để tạo số báo danh cho học sinh bao gồm 1 chữ cái hoa tiếng anh và 1 chữ số không vượt quá 100. Hỏi số lượng lớn nhất số báo danh có thể có là bao nhiêu?
Giải
Số lượng số báo danh lớn nhất là : 26*100 = 2600
Bài 2: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài là 7?
Giải
Mỗi bít có 2 cách lựa chọn do đó: \(2^7\)
Bài 3: Có bao nhiêu ham từ tập m phần tử đến tập n phần tử? \(n^m\)
3.Nguyên lý loại trừ
Giả sử 1 công việc có thể thực hiện 1 trong 2 cách nhưng có một số cách bị trùng
| A 1 ∪ A 2 | = | A 1 | + | A 2 | – | A 1 ∩ A 2 |
Bài 1: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 hoặc bắt đầu bằng 1 hoặc bắt đầu bằng 00
Giải
Chuỗi bit bắt đầu bằng 1 là: \(2^7\)
Chuỗi bit bắt đầu bằng 00 là:\(2^6\)
Chuỗi bit trùng nhau bắt đầu bằng 1 và 00 là: \(2^5\)
Theo nguyên lý trừ ta có: \(2^7+2^6-2^5\)
4.Nguyên lý chia
Một công việc A có n cách thực hiện. Đồng thời nó cũng được thực hiện theo k phương án khác nhau, mỗi phương án có đúng d cách thực hiện. Thì số phướng án khác nhau để thực hiện A là k=n/d
5.Nguyên lý Dirichlet
Bài 1: Cần bao nhiêu học sinh để đảm bảo có ít nhất 2 học sinh trùng điểm nhau , nếu điểm được cho từ 0 – 10?
Giải
Cần ít nhất 12 học sinh
Bài 2: Cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên để đảm bảo rằng ít nhất 3 sinh viên cùng nhận kết quả đánh giá, nếu có 5 điểm để đánh giá A, B, C, D, F
Giải
[N/5] = 3
Số sinh viên tối thiểu là:
6.Hoán vị
Hoán vị là cách sắp xếp có thứ tự tất cả n phần tử
Bài 1: Người ta sắp xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5
a.Có bao nhiêu cách sắp xếp số chẵn ở cạnh nhau?
Coi hai số chẵn là 1 => có 2!.4! =48 cách
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp hai thành 2 nhóm chẵn lẻ riêng biệt (2!.3!.2=24)
7.Tổ hợp và chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử
Tổ hợp chập k của n phần tử: lấy k phần tử trong n phần tử
Bài 1: Một lớp học có 10 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khoá biểu trong 1 ngày?
Giải
Cách sắp xếp thời khoá biểu là \( A_2^{10} = 90\)
Bài 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm 5 người mà trong đó có đúng 2 nữ?
Giải
Cách chọn 2 nữ trong 6 nữ là: \( C_6^{2} = 15\)
Cách chọn 4 nam trong 8 nam là: \( C_8^{4} = 56\)
Số cách chọn theo yêu cầu là: 15.56=840 cách
8.Chỉnh hợp lặp và tổ hợp lặp
8.1. Chỉnh hợp lặp
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho và sắp xếp theo một thứ
tự nhất định; các phần tử có thể lấy lặp.
- Chỉnh hợp lặp: \( A_n^{k} = n^k \)
8.2. Tổ hợp lặp
Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy (có thể lặp) trong n phần tử đã cho.
- Tổ hợp lặp: \( C_n^{k} = C_{n+k-1}^{k} \)
Bài 1: Tìm chuỗi nhị phân có độ dài 6 là (26)
Bài 2: Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, vàng, cam và mỗi loại có ít nhất 6 cây bút.Có bao nhiêu cách khác nhau để mua 6 cây?
Giải
Tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử: \( C_{4+6-1}^{6} =84 \)
Một số lưu ý và phương pháp đếm khi làm bài toán đếm toán rời rạc
8.Hoán vị vòng quanh: \(Q_n=(n-1)!\)
Bài tập bài toán đếm toán rời rạc có lời giải
Bài 1: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân, thành 4 phần tương ứng với số quân là 10, 12, 14, 16
Giải
Vì số quân của các phần khác nhau nên:
\( C_{52}(10,12,14,16) = \frac{52!}{10!.12!.14!.16!} \)Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần bằng nhau?
Giải
Vì số quân của các phần bằng nhau nên:
\( C_{52}(13,13,13,13) = \frac{52!}{13!.13!.13!.13!.4!} \)Bài 3: Có bao nhiêu cách chia 10 chiếc kẹo cho 5 em bé trong các trường hợp sau:
a/ Chia 1 cách tuỳ ý
\( R_{5}^{10}=C_{5+10-1}^{10} =1001 \)b/ Em nào cũng được chia kẹo
Chia cho mỗi em 1 kẹo để đảm bảo ai cũng được kẹo rồi tiếp tục chia 1 cách tuỳ ý :
\( R_{5}^{5}=C_{5+5-1}^{5} = 126 \)c/ Có 1 em có số kẹo ít hơn 4
\( C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + C_{10}^{3}\)Bài 4: Một phiếu trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời.
a) Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu câu hỏi nào cũng đều được trả lời? 410
b) Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu có thể có câu hỏi bỏ trống không trả lời? 510
Các bài tập phép đếm tổng hợp
Bài 1. Có 5 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho:
a) Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau?
b) Tất cả 5 bộ quần áo đều sai kích thước?
c) Ít nhất có 2 bộ có cùng kích thước.
Giải
a)
– Chọn ra 3 bộ có cùng kích thước với nhau: \( C_{5}^{3} = 10 \)
– 3 bộ có đúng 1 cách xếp
– Còn lại 2 bộ quần áo có kích thước khác nhau:
=> Số cách sắp xếp 2 bộ quần áo có kích thước khác nhau là \(D_2=1\)
=>Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau: 10.1
b)
Số cách sắp xếp 5 bộ quần áo có kích thước khác nhau là \(D_5\)
\(D_1\) = 0
\(D_2\) = 1
\(D_3\) = 2.( 1 + 0 ) = 2
\(D_4\) = 3 ( 2 + 1) =9
\(D_5\) = 4( 9+ 2) = 44
c)
Chỉ có 2 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau: \( C_5^2.D_3 \)
Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau: \( C_5^3.D_2 \)
Chỉ có 4 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau: \( C_5^4.D_1 \)
Ít nhất có 2 bộ có cùng kích thước:
\( C_5^2.D_3+C_5^3.D_2+C_5^4.D_1 \)Bài 2: Cho 31 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần trong các trường hợp sau đây:
a) Có 7 đường thẳng song song với nhau và 6 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm.
b) Nếu vẽ thêm 1 đường thẳng đi qua 2 giao điểm của các đường thẳng đã cho.
c) 31 đường thẳng ở vị trí tổng quát
Giải
c) 31 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên
a) – 7 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên T7 = 29 phần mặt phẳng.
Trong đó 7 đường thẳng song song với nhau chỉ tạo nên 8 phần mặt phẳng.
Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 29 – 8 = 21
Vậy đáp án là T31 -21 phần mặt phẳng.
– 6 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên T6 = 22 phần mặt phẳng
6 đường thẳng đồng quy chỉ tạo ra 12 phần mặt phẳng.
Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 22 – 12 =10
Vậy đáp án là T31 -10 phần mặt phẳng.
=> 2T31 -10 -21
b)
Bài 3: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 =9 bao nhiêu nghiệm nguyên trong các trường hợp sau:
a) xi ≥ 0 và nguyên (i= \( \overline{1,4} \))
b) xi nguyên và x1 ≥ 0, x2 ≥ 1, x3 ≥ 2, 0≤ x4 ≤ 3
Giải
a) Số nghiệm là tổ hợp lặp chập 9 của 4 phần tử
b) Đặt x1 = t1 ≥ 0, x2 -1 =t2 ≥ 1, x3 -2 = t3≥ 2, x4 = t4≥ 0
Thay vào phương trình ta được
t1 + t2 + t3 + t4 = 12 (1)
Với x4 =0 số nghiệm của phương trình (1) là:
Với x4 =1 số nghiệm của phương trình (1) là:
Với x4 =2 số nghiệm của phương trình (1) là:
Với x4 =3 số nghiệm của phương trình (1) là:
Vậy số nghiệm là tổng của 4 trường hợp: 455+ 1820 + 6188 + 18564 =27027
Như vậy, vừa rồi TTnguyen đã gửi tới bạn một số bài tập toán rời rạc có lời giải về bài toán đếm giúp các bạn ôn tập hơn. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net. Chúc các bạn học tập tốt!
