Ma trận chuyển cơ sở – toạ độ – số chiều của không gian vectơ

Gửi tới bạn đọc kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập về ma trận chuyển cơ sở số chiều của không gian vectơ trong môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích giúp các bạn ôn tập dễ dàng

1. Cơ sở của không gian vecto

Định nghĩa: Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian vectơ khác vectơ 0 được gọi là cơ sở của nó.

Chú ý: Không gian vectơ 0 không có cơ sở hay số vectơ trong cơ sở của không gian vectơ không bằng 0.

S={e1 + e,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:

    • S độc lập tuyến tính
    • ∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen

1.1 Cơ sở chính tắc

  • R3={a,b,c}
    • (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
    • S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
    • dim Rn=n
    • có 3 vecto

Cơ sở không gian vecto 1

  • P2={a+bx+cx2}
    • S={1,x,x2}
    • dim Pn=n+1
    • có 3 vecto

Xem thêm: Bài tập không gian vecto con có lời giải | Xem phát hiểu luôn

1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không

S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:

  • S độc lập tuyến tính
  • dim V= số phần tử S

a. S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R4

S có 3 phần tử mà dim R=4 => S không phải là cơ sở

b. S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}⊂R3

số phần tử =dim R=3

Xét định thức:

ví dụ cơ sở không gian vecto

> phụ thuộc tuyến tính

=> S không là sơ sở

c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}⊂P2

Số phần tử=dim P=3

Xét định thức:

ví dụ cơ sở không gian vecto

=> độc lập tuyến tính

=> S là cơ sở

2. Số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa: Số vectơ trong một cơ sở K không gian vectơ V được gọi là số chiều của V. Kí hiệu dimKV. Nếu không cần chỉ rõ trường K cụ thể, ta có thể viết đơn giản dimV.

2.1 Tìm dim của ma trận

Số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử

3. Toạ độ của một vectơ

Toạ độ không gian vecto

Lưu ý:

toạ độ của vecto

Cùng chủ đề: Ánh xạ tuyến tính – Bài tập & lời giải

4. Ma trận chuyển cơ sở S→T

Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S

4.1 Ví dụ tìm ma trận chuyển cơ sở

Ví dụ: Trong không gian Rcho 2 hệ cơ sở

S={ u1(1,1,1), u2(1,0,2), u3(1,2,1)}

T={ v1(2,3,2), v2(-1,1,4), v3(2,1,3)}

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang T

Giải

Xét ma trận sau:

Ví dụ cơ sở không gian vecto 3

Giải hệ phương trình

ví dụ cơ sở không gian vecto 6

ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1

Ví dụ cơ sở không gian vecto 7

Tương tự xét ma trận

Ví dụ cơ sở không gian vecto 4

Ví dụ cơ sở không gian vecto 8

Ví dụ cơ sở không gian vecto 5

Ví dụ cơ sở không gian vecto 9

Vậy ma trận cần tìm là

Ví dụ cơ sở không gian vecto 10

Bài tập tìm cơ sở và số chiều không gian vecto

1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không

a. u1(1,2), u2(3,4), u3(5,6) đối với R2

-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto

b. u1(1,2,3), u2(3,4,5), u3(4,5,6) đối với R3

-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto

c. u1(2,1), u2(3,0) đối với R2

Số phần tử dim R=2

Xét ma trận bổ sung

Ví dụ cơ sở không gian vecto 25

det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở

2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ u sang v

Bài toán: Xét không gian R3 với 2 cơ sở:

u1(1,0,0); u2(0,1,0); u3(0,0,1) và v1(1,1,0); v2(0,1,1); v3(1,0,1)

a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v)

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (v) sang cơ sở (u)

Hướng dẫn giải

Bài tập tìm ma trận chuyển cơ sở từ u sang v

tìm ma trận chuyển cơ sở từ u sang v

Bài tập tìm ma trận chuyển cơ sở

Ok xong, trên đây là một số kiến thức cơ bản cùng hướng dẫn cách giải các bài toàn về tìm số chiều, cơ sở, toạ độ của vecto. Nếu có bất kì thắc mắc nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu cơ sở không gian vecto trên ttnguyen.net

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em