Xác suất có điều kiện là khả năng xảy ra của một biến cố dựa trên một biến cố nào đó. Sau đây TTnguyen xin gửi tới bạn một số bài tập xác suất có điều kiện trong môn Xác suất thống kê giúp bạn nắm vững kiến thức phần này nhé.
1. Xác suất có điều kiện là gì?
Xác suất có điều kiện(Conditional probability) là xác suất của một biến cố A nào đó khi biết rằng một biến cố B khác xảy ra. Ký hiệu P(A|B) , và đọc là “xác suất của A, biết B“.
1.1 Công thức xác suất có điều kiện
Trong đó biến cố A đã xảy ra trước, còn biến cố B xảy ra sau và P(A) >0.
Trong đó biến cố B đã xảy ra trước, còn biến cố A xảy ra sau và P(B) >0. Trường hợp đặc biệt khi không gian mẫu có các kết quả đồng khả năng thì:
Trong đó m (A∩B)là số các trường hợp thuận lợi của (A∩B); m(A) là số các trường hợp thuận lợi của A.
1.2 Ví dụ xác suất có điều kiện
Ví dụ : Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Ký hiệu A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm” và B là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”. Như vậy A xảy ra trước B.
Khi con xúc xắc xuất hiện mặt 4 chấm (biến cố A đã xảy ra) thì xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6 được gọi là xác suất điều kiện của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra. Ký hiệu là P(B/A). Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì không gian mẫu sẽ chỉ còn 6 kết quả (6 biến cố) sau đây: (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6). Suy ra P(B/A) = P(4,2)=1/6 .
1.3 Công thức nhân xác suất có điều kiện
2. Phân biệt xác suất thông thường và xác suất có điều kiện
Một trong những các dễ dàng nhất để nhận biết xác suất thông thường hay xác suất có điều kiện là:
- Câu hỏi chứa từ khoá: biết rằng, nếu, khi,… VD: Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
- Đề bài cho lần lượt khả năng A, B. VD: Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5.
Xem thêm: Bài tập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc
3. Các dạng bài tập xác suất có điều kiện
3.1 Tính xác suất có điều kiện các biến cố độc lập
Bài 1: Một công ty đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5.
a)Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án
b) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
Giải
Gọi A là biến cố”thắng thầu dự án 1″
B là biến cố”thắng thầu dự án 2″ mà theo đề bài P(A)= 0,4 , P(B)=0,5, 2 biến cố A,B độc lập
a) Gọi A1 là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”
\(P(A1)=P(A \overline{B}+ \overline{A}B)\)
\(= P(A \overline{B}) +P(\overline{A}B)\)
\(P(A1)=P(A).P( \overline{B})+ P(\overline{A})P(B)\)
\(= 0,4.(1-0,5)+ (1-0,4).0,5=0,5\)
b) Gọi B1 là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1”
P(B1)=P(B|A)= P(B)=0,5 (do A,B độc lập)
c) Gọi C1 là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1”
\(P(C1)=P(B|\overline{A})=P(B)=0,5\)3.2 Tính xác suất điều kiện các biến cố bất kỳ
Bài 2: Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,3. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) A và B có độc lập không?
b) Tìm xác suất công ty thắng thầu đúng dự án 1
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2
Giải
Tóm tắt đề bài: P(A)=0,4 , P(B)=0,5 , P(AB)=0,3
a) A,B độc lập => P(AB)= P(A).P(B)
mà 0,3 ≠0,4×0,5 => A, B không độc lập(phụ thuộc)
b) Gọi B1 là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
\(P(B1)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)\)
\(=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)\)
\(=P(A)+P(B)-2P(AB)=0,3\)
c) Gọi C1 là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1
\(P(C1)=P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0,3}{0,4}=0,75\)d) Gọi D1 là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”
\(P(D1)=P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}\)
\(=\frac{0,5-0,3}{1-0,4}=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Một sinh viên làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là 0,8, nhưng nếu làm sai bài thứ 1 thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là 0,2. Tính xác suất
a) Làm đúng ít nhất 1 bài
b) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
c) Làm đúng cả 2, biết rằng làm đúng một bài
Giải
Gọi A1 là biến cố làm đúng bài 1
Gọi A2 là biến cố làm đúng bài 2
a) Làm đúng ít nhất 1 bài
\(P(A1+A2)= 1-P(\overline{A1+A2})\)
\(= 1-P(\overline{A1}.\overline{A2})\)
\(=1-P(\overline{A1})P(\overline{A2}|\overline{A1})=0,76\)
b) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
\(P(A1.A2)= P(A1).P(A2|A1)=0,7.0,8\)
\(P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)-P(A1A2)\)
\(0,76= 0,7+P(A2)- 0,7.0,8\)
\(=>P(A2)=0,62\)
\(P(A1|A2)= \frac{P(A1A2)}{P(A2)}\)
\(=\frac{P(A1)P(A2|A1)}{P(A2)}=0,903\)
c) Làm đúng cả 2 biết rằng làm đúng ít nhất 1 bài
\(P(A1A2|(A1+A2))= \frac{P[(A1A2).(A1+A2)]}{P(A1+A2)}\)
\(= \frac{P[(A1A1A2)+(A1A2A2)]}{P(A1+A2)}\)
\(=\frac{P[(A1A2)+(A1A2)]}{P(A1+A2)}\)
\(= \frac{P(A1A2)}{P(A1+A2)}=0,737\)
3.3 Bài tập công thức nhân xác suất có điều kiện
Bài 4: Có 20 phế phẩm trong 100 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên lần lượt ra 2 sản phẩm. Tính xác suất:
a. Sản phẩm thứ nhất là phế phẩm.
b. Sản phẩm thứ hai là phế phẩm khi sản phẩm thứ nhất là phế phẩm.
c. Cả hai sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm
Giải
Gọi A1 là sản phẩm lấy ra lần thứ 1 là phế phẩm, A2 là sản phẩm lấy ra lần thứ 2 là phế phẩm
a)\(P(A)=P(A1.A2+A1 \overline{A2})\)
\(=P(A1.A2)+P(A1 \overline{A2})\)
\(=P(A1).P(A2)+P(A1).P(\overline{A2})\)
\(=\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}+\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.(1-\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}})=0,2\)
b)\(P(B)=P(A2|A1)\)
\(=\frac{P(A1A2)}{PA1}\)
\(=P(A2)=\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}=\frac{19}{99}\)
c)\(P(C)=P(A1.A2)=P(A1).P(A2)\)
\(=\frac{C_{20}^{1}}{C_{100}^{1}}.\frac{C_{19}^{1}}{C_{99}^{1}}=\frac{19}{495}\)
Xem thêm: Phân phối Poisson và phân phối nhị thức xác suất thống kê
Bài 5: Có hai hộp đựng sản phẩm. Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II; hộp thứ hai có 8 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Từ mỗi hộp chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất:
a. Lấy được 2 phẩm loại I
b. Lấy được ít nhất một phẩm loại I.
c. Lấy được 2 sản phẩm cùng loại.
d. Nếu từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì xác suất lấy được cả ba sản phẩm đều là sản phẩm loại I bằng bao nhiêu? Xác suất để 3 sản phầm cùng loại là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi A là biến cố “Lấy được 2 sản phẩm loại I”
A1 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp I”
A2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp II”
=> A = A1.A2 => \(P(A)= P(A1A2)= P(A1).P(A2)\)
\(= \frac{7}{10}. \frac{8}{12}= 0.46\)
b) Gọi B là biến cố “lấy được ít nhất một sản phẩm loại I”
\(\overline{B}\) là biến cố “lấy được 2 sản phẩm loại II”
\(\overline{B1}\) là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp I”
\(\overline{B2}\) là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp II”
=> \(P(B)= 1 – P(\overline{B}) = 1-P(\overline{B1}.\overline{B2})\)
\(= 1 -(\frac{3}{10}. \frac{4}{12})=0.9\)
c) Gọi C là biến cố”lấy được 2 sản phẩm cùng loại”
\(P(C)= P(A∪\overline{B})= P(A)+P(\overline{B})\)
\(=0,46+0,9=1,36\)
d) Gọi E là biến cố “lấy 3 sản phẩm loại I”
E1 là biến cố “lấy được 2 sản phẩm từ loại I từ hộp I”
E2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại I từ hộp II”
=> E=E1.E2 => \(P(E)= P(E1.E2)= P(E1).P(E2)\)
\(= \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}. \frac{C_{8}^{1}}{C_{12}^{1}}= 0,31\)
Gọi F là biến cố “lấy 3 sản phẩm loại II”
F1 là biến cố “lấy được 2 sản phẩm từ loại II từ hộp I”
F2 là biến cố “lấy được 1 sản phẩm từ loại II từ hộp II”
=> F=F1.F2 => \(P(F)= P(F1.F2)= P(F1).P(F2)\)
\(= \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}. \frac{C_{4}^{1}}{C_{12}^{1}}= .0,02\)
Gọi D là biến cố “lấy 3 sản phẩm cùng loại”
P(D)=P(E∪F)=P(E)+P(F)= 0,31+0,02=0,33
Bài 6: Hoạt động của một hệ thống thông tin gồm 3 giai đoạn: Mã hóa, truyền tin và giải mã. Một tin nhắn có xác suất bị lỗi trong giai đoạn mã hóa là 0,5%; trong giai đoạn truyền tin là 1% và trong giai đoạn giải mã là 0,1%. Giả sử các lỗi xảy ra ở các giai đoạn là độc lập.
a. Xác suất để một tin nhắn không bị lỗi là bao nhiêu?
b. Xác suất để một tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hóa hoặc giai đoạn giải mã là bao nhiêu?
Giải
a)Gọi A là biến cố”tin nhắn không bị lỗi”
A1 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hoá”
A2 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn truyền tin”
A3 là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn giải mã”
\(A=\overline{A1}.\overline{A2}.\overline{A3}\)
\(=>P(A)=P(\overline{A1}).P(\overline{A2}).P(\overline{A3})\)
\(=0,95.0,99.0,99=0,984\)
b)Gọi B là biến cố “tin nhắn bị lỗi ở giai đoạn mã hoá hoặc giai đoạn giải mã”
B= A1∪A3=> P(B)=P(A1∪A3)= P(A1)+P(A3)-P(A1A3)= 0,5%+0,1%-(0,5%.0,1%)=0,00599
Bài 7: Một phòng có 3 máy tính hoạt động độc lập. Xác suất hỏng trong một tháng của mỗi máy tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3. Tính xác suất:
a. Cả ba máy hỏng trong tháng.
b. Có một máy hỏng trong tháng.
c. Có hai máy hỏng trong tháng.
d. Có ít nhất một máy hỏng trong tháng.
e. Máy thứ ba bị hỏng. Biết rằng trong tháng có 2 máy bị hỏng.
Giải
a)Gọi A là biến cố “cả 3 máy hỏng trong tháng”
P(A)=0,1.0,2.0,3=0,006
b)Gọi B là biến cố “có một máy hỏng trong tháng”
Có đúng 1 máy hỏng=>Xảy ra 3 TH:
+) TH1: Máy 1 hỏng, máy 2,3 bình thường
=>P1=0,1.(1-0,2).(1-0,3)=0,056
+) TH2: Máy 1,3 bình thường, máy 2 hỏng
=>P2=(1-0,1).0,2.(1-0,3)=0,126
+) TH3: Máy 1,2 bình thường, máy 3 hỏng
=>P3=(1-0,1).(1-0,2).0,3=0,216
=>P(B)=P1+P2+P3=0,398
c) Gọi C là biến cố “có 2 máy hỏng trong tháng”
Có đúng 2 máy hỏng=>Xảy ra 3 TH:
+) TH1: Máy 1 hoạt động bình thường, máy 2,3 hỏng
=>P1(C)=(1-0,1).0,2.0,3=0,054
+) TH2: Máy 1,3 hỏng, máy 2 bình thường
=>P2(C)=0,1.(1-0,2).0,3=0,024
+) TH3: Máy 1,2 hỏng, máy 3 bình thường
=>P3(C)=0,1.0,2.(1-0,3)=0,014
=>P(C)=P1(C)+P2(C)+P3(C)=0,092
d) Gọi \(\overline{D}\) là biến cố”không có máy nào hỏng”,D là biến cố có ít nhất một máy bị hỏng
\(P(D)=1-P(\overline{D})\)
\(= 1 – [(1-0,1).(1-0,2).(1-0,3)]\)
\(=0,496\)
e) \(P(E)= P(P1(C)∪P2(C)|P(C))\)
\(=\frac{P1(C)∪P2(C)}{P(C)}\)
\(=\frac{0,054+0,024}{0,092}\)
\(=0,85\)
Hy vọng qua bài viết trên TTnguyen đã cung cấp cho bạn đủ thông tin giúp bạn giải bài tập xác suất có điều kiện một cách dễ dàng nhất. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net.
