Bài tập về phân phối Poisson có lời giải và phân phối nhị thức

Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về phân phối Poisson và phân phối nhị thức. Sau đây mình xin gửi tới các bạn bài viết bài tập về bảng phân phối Poisson và phân phối nhị thức trong môn xác suất thống kê.

1.Công thức phân phối Poisson (Poisson Distribution)

1.1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu là X  P (λ ), nếu X nhận các giá trị có thể có là các số nguyên không âm: 0, 1, 2, … , n và các suất tương ứng được tính theo công thức xấp xỉ Poisson.

Công thức phân phối Poisson

1.2 Đặc trưng của phân phối Poisson

Nếu X có phân phối Poisson (X ∼ P (λ )) thì :

Đặc trưng phân phối Poisson

Xem thêm: Bài tập công thức xác suất đầy đủ và Bayes có lời giải

2. Công thức phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với hai tham số n và p nếu X nhận các giá trị có thể có là các số nguyên không âm: 0, 1, 2, … , n và hàm xác suất được tính theo công thức Bernuolli:

Công thức phân phối nhị thức

Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:

Bảng phân phối nhị thức

3. Ví dụ bài tập phân phối nhị thức

Bài 10: Tỷ lệ mắc bệnh ở 1 địa phương là p = 1%. Người ta lấy máu từng người để thử nghiệm theo cách 2:
– Cách 1: Mỗi người lấy máu làm một việc thử nghiệm.
– Cách 2: Lấy máu 10 người cùng làm 1 lần thử nghiệm, nếu trong mẫu âm tính chung thì thôi, nếu phát âm tính chung mẫu thì làm lại từng người, mỗi người 1 thử nghiệm riêng.
Với 1000 người cần kiểm tra, do đó, so sánh hai cách xem cách nào có lợi hơn (nghĩa là số kiểm tra phải ít hơn).
Giải

Bảng phân phối suất 14

X 1 11
P 0,0956

Như vậy số kiểm tra trung bình là: E (X) = 9,6 => số kiểm tra là 960

Bài viết cùng chủ đề: Bài tập xác suất có điều kiện có lời giải chi tiết

Bài 11: Tỷ lệ người dân tham gia trên mạng lưới giao dịch có sự hiểu biết về luật giao dịch là 90%. Tại một nút giao diện có 5 người giao diện trong phạm vi luật. Gọi X là một số người am hiểu luật nhưng cố gắng tình luật trong 5 người đó.
a) Lập bảng phân phối của X.
b) Tính E (3- 5X) và V (3X-2).
c) Nếu có 30 người trong phạm vi luật, thì trung bình có bao nhiêu người hiểu biết luật nhưng cố gắng trong phạm vi? Có bao nhiêu người trong phạm vi luật làm người không hiểu luật?

Giải

Bài toán được thử nghiệm dãy Bernoulli n = 5; p = 0,9; q = 0,1

Bài viết phân phối tập tin bảng 15

a. Bảng phân phối là:

X 0 1 2 3 4 5
P 0,00001 0,00045 0,0081 0,0729 0,32805 0,59049

b. X có dạng phân phối nhị thức với n = 5; p = 0,9 => E (X) = 5,0,9 = 4,5

E (3-5X) = 3-5E (X) = 3-5.4,5 = -19,5

V (3X-2) = 9V (X) = 9.0,1,5 = 4,5

c. Gọi Y là một số luật trong một dãy

Y có phân phối nhị thức với n = 30; p = 0,9

Y là biến ngẫu nhiên Rạc: Y = 0,1, …, 30

Trung bình người hiểu luật nhưng cố tình phạm vi: E (Y) = np = 30.0,9 = 27

Gọi k là một số của dãy luật mà người ta chưa biết Luật

Tập tin phân phối 16

Bài 12: Một lô hàng có 8 sản phẩm loai I và 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 5 sản phẩm theo phương thức hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại II trong 5 sản phẩm lấy ra.
a) X có phân phối gì?
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
c) Tính số sản phẩm loại II trung bình trong số sản phẩm lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó.
d) Nếu lấy lần lượt ra 64 sản phẩm từ lô hàng đó (vẫn lấy theo phương
thức hoàn lại) thì trung bình lấy được bao nhiêu sản phẩm loại II? Số sản
phẩm loại II có khả năng xảy ra nhất là bao nhiêu?

Giải

a. X có phân phối nhị thức: n = 5; p = 0,2

b. E (X) = n.p = 5.0,2 = 1; V (X) = 5.0,2.0,8 = 0,8

c.

File table phân phối bài 17
d.Gọi Y là số sản phẩm loại 2 có trong 64 sản phẩm lấy ra
Y có phân phối nhị thức n = 64; p = 0,2
E (Y) = 64.0,2 = 12,8 Như vậy
trong 64 sản phẩm thì có 13 sản phẩm loại 2
Số sản phẩm loại 2 có nhiều khả năng là Y mod của Y
64.0,2-0 , 8 <= Ymod <= 64.0,2 + 0,2
12 <= Ymod <= 13
Ymod <= 12: 13

Bài 13: Một báo cáo đã cung cấp các dữ liệu về 10 phần mềm phá hoại đầu bảng tính tới năm 2002. Đứng đầu nhóm này là loại vi rút mạng có tên “Klez” và tới năm2002 nó vẫn là loại vi rút có sức phá hoại lớn nhất. Có 61,22% phiên bản loại vi rút này. Giả sử có 20 phiên bản phần mềm phá hoại và các bản gốc của các phiên bản phần mềm này là độc lập
a) Xác suất để có ít nhất một phiên bản “Klez” là bao nhiêu?
b) Trung bình và độ lệch chuẩn của số phiên bản “Klez” trong 20 phiên bản phần mềm phá hoại là bao nhiêu?
c) Xác suất có 3 hay nhiều hơn 3 phiên bản “Klez” là bao nhiêu?

Giải

4. Ví dụ bài tập phân phối Poisson

Bài 14: Một mạng lưới máy tính khi bị nghẽn thì một gói dữ liệu có xác suất bị mất là 1% và các gói dữ liệu bị mất là độc lập với nhau. Các gói dữ liệu bị mất này cần phải gửi lại. Một thư điện tử có 100 gói dữ liệu.
a) Cho biết phân phối xác suất của các gói giữ liệu cần phải gửi lại (các gói dữ liệu bị mất trong 100 gói dữ liệu (trong 1 tin nhắn)? Trung bình và độ lệch chuẩn của các gói dữ liệu cần phải gửi lại là bao nhiêu?
b) Tính xác suất để có hai hay nhiều hơn gói dữ liệu cần gửi lại.
c) Nếu có 3 tin nhắn ( mỗi tin nhắn có 100 gói dữ liệu) thì xác suất có ít nhất một tin nhắn có hai hoặc nhiều hơn hai gói dữ liệu phải gửi lại là bao nhiêu?

Giải

a. X có poisson phân phối với n = 100; p = 0,01; q = 0,99

Bài thuyết minh phân phối bảng tập 19

Các gói dữ liệu bị mất, cần gửi lại là: E (X) = 1

b.

Bài thuyết minh phân phối bảng tập 20

c. Bài toán ý c là cho phép thử  Bernoulli với n = 3; p = 0,625

 

Bài viết liên quan: Sơ Đồ Venn trong xác suất thông kê – Bài tập có lời giải chi tiết

Bài 16: Xác suất để đoàn tàu khởi hành đúng giờ là 98,2%. Tính xác suất để 1000 chuyến tàu có 995 chuyến tàu khởi hành đúng thời gian.

Giải

Tập tin phân phối 22

Bài 17: : Lưu lượng giao thông theo cách truyền thống được coi là có phân phối Poisson. Một trạm kiểm soát điều khiển lưu lượng giao thông ở một nút giao thông với trung bình 6 xe một phút. Để thiết lập thời gian cho đèn tín hiệu thì các xác suất sau đây được sử dụng:
a) Tính xác suất để không có xe nào đi qua nút giao thông trong 30 giây.
b) Tính xác suất có 3 xe hoặc nhiều hơn 3 xe đi qua nút giao thông trong một phút

Giải

Kê kê 23 tập tin

Bài 18: Số cuộc gọi điện thoại đến trung tâm tổng đài thường được mô tả là một biến ngẫu nhiên Poisson. Biết rẳng trung bình có 10 cuộc điện thoại gọi tới trong 1 giờ.
a) Xác suất có đúng 5 cuộc điện thoại gọi tới trong 1 giờ là bao nhiêu?
b) Xác suất có 3 hoặc ít hơn 3 cuộc điện thoại gọi tới trong 1 giờ là bao nhiêu?
c) Xác suất có đúng 15 cuộc điện thoại gọi tới trong 2 giờ là bao nhiêu?
d) Xác suất có đúng 5 cuộc điện thoại gọi tới trong 30 phút là bao nhiêu?

Giải

a. Gọi X là cuộc gọi đến tổng đài trong 1h. Theo giả thiết X có poisson phân phối với:

Tệp bảng này là 24

b.

bảng phân phối bài viết 25

c. Gọi Y là cuộc gọi đến tổng đài trong 2h. Theo giả thiết Y có poisson phân phối với:

bảng phân phối bài poisson 26

d. Gọi Z là cuộc gọi đến tổng đài trong 30p. Theo giả thiết Z có poisson phân phối với:

poisson

Trên đây là bài viết và cách giải bài tập phân phối Poisson và phân phối nhị thức. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về chương này. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên TTnguyen

Nguyễn Tiến Trường

Mình viết về những điều nhỏ nhặt trong cuộc sống, Viết về câu chuyện những ngày không có em