Để giúp các bạn nắm vững kiến thức phần biến ngẫu nhiên rời rạc. Dưới đây TTnguyen xin gửi tới bạn một số bài tập bảng phối xác suất trong môn Xác suất thống kê giúp các ôn tập dễ dàng.
1.Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete random variable) Là biến ngẫu nhiên với miền giá trị là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
1.1 Định nghĩa
Bảng phân phối xác suất chuẩn dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Bảng gồm 2 dòng: Dòng trên ghi các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên là: x1, x2, .. , xn; dòng dưới ghi các xác suất tương ứng là: P1, P2, .. , Pn.
| X(xi) | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | xn |
| P(xi) | P(x1) | P(x2) | P(x3) | P(x4) | P(x5) | P(xn) |
1.2 Tính chất bảng phân phối xác suất
Từ tính chất của hàm xác suất ta có:
- 0<=p(xi)<=1
- p(x1)+p(x2)+…+p(xk)=1
1.3 Ví dụ bảng phân phối xác suất
Ví dụ: Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất 1 lần. Gọi X là số chấm xuất hiên. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị 1, 2, … ,6. Khi đó hàm xác suất tương ứng là:
2. Hàm phân phối xác suất( hàm phân phối tích lũy- Cumulative
Distribution function)
Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy) của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là F(x).
Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X với các giá trị có thể là x1, x2,…, xk và các xác suất tương ứng là p(x1), p(x2), …, p(xk) thì biểu thức cụ thể của hàm phân phối tích lũy được cho như sau:
Bài viết cùng chủ đề: Bài tập xác suất có điều kiện có lời giải chi tiết
3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1 Kỳ vọng-Trung bình (Mean- Expect)
Khi đó kỳ vọng (giá trị trung bình) của X là , ký hiệu là E(X) hoặc μ là:
3.2 Phương sai
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu σ2 hay V(X) là giá trị trung bình trọng số (kỳ vọng) của bình phương các sai lệch giữa các giá trị x1, x2, … ,xk của biến ngẫu nhiên X với giá trị trung bình μ của nó:
3.3 Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của X, ký hiệu σ (X), là:
4. Ví dụ
5. Bài tập về lập bảng phân phối xác suất, tính kỳ vọng, phương sai, hàm phân phối tích luỹ
Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân phối xấc suất được cho như sau:
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| P(X) | 1/8 | 2/8 | 2/8 | 2/8 | 1/8 |
a) P(X ≤ 2); P(X>-2); P(-1≤ X≤1);P(X ≤ -1 hoặc X=2)
b) Xác định hàm phân phối tích lũy và tinh các xác suất sau: P(X≤1.25);P(X≤2.2)
c) Tính kỳ vọng và phương sai của X
Giải
a. P(X)=1/8+2/8+2/8+2/8+1/8=1
P(X>-2)=2/8+2/8+2/8+1/8=7/8
P(-1≤ X≤1)=2/8+2/8+2/8=6/8
P(X ≤ -1 hoặc X=2)=1/8+2/8+1/8=1/2
b.Hàm phân phối tích luỹ:
Vậy P(X≤1.25)=7/8; P(X≤2.2)=1
c. – Kỳ vọng và phương sai của X
Bài viết liên quan: Sơ Đồ Venn trong xác suất thông kê – Bài tập có lời giải chi tiết
Bài 2: Một nhân viên kỹ thuật của một công ty đã đưa ra một sản phẩm mới. Công ty ước tính nếu đưa sản phẩm ra thị trường thì xác suất rất thành công là 0.6, xác suất thành công là 0.3 và xác suất không thành công là 0.1. Thu nhập tương ứng cho các trường hợp này là 15 triệu đô la, 5 triệu đô la và – 500 000 đô la. Gọi X là biến ngẫu nhiên thu nhập nhận được.
a) Lập bản phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
b) Xác định hàm phân phối tích lũy của X.
c) Xác định kỳ vọng phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải
a. Hàm xác suất thu nhập nhận được là:
| X | -500 000 | 5 triệu | 15 triệu |
| P | 0.1 | 0.3 | 0.6 |
b. Hàm phân phối tích luỹ
c. Kỳ vọng
E(X)=-500000.0.1+5000000.0.3
+15000000.0.6=10450000
V(X)=[(-500000)^2.0.1+(5000000)^2.0.3+(15000000)^2.0.6]-(10450000)^2=3.33×10^13
Độ lệch chuẩn của X là sqrt(3.33×10^13)
Bài 3: Một nhóm học sinh có 10 em, trong đó có 3 em học loại giỏi, 4 loại khá, còn lại là trung bình. Từ nhóm đó chọn ngẫu nhiên ra 3 học sinh. Gọi X là số học sinh giỏi trong số học sinh chọn ra
a. Lập bảng phân phối xác suất của X
b. Viết biểu thức hàm phân phối xác suất của X
c. Tính kỳ vọng, phương sai của X
d. Tính xác suất để trong số học sinh chọn ra có ít nhất 1 học sinh giỏi
Giải
a. Ta có
Bảng phân phối xác suất:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 7/24 | 21/40 | 7/40 | 1/120 |
b.Hàm phân phối xác suất
c. Kỳ vọng: E(X)=0.7/24+21/40+2.7/40+3.1/120=9/10
V(X)=[(0)^2.7/24+(1)^2.21/40+(2)^2.7/40+(3)^2.1/120]-(9/10)^2=67/50
d. Xác suất để chọn ra ít nhất 1 học sinh giỏi là: 21/40+2.7/40+3.1/120=9/10
Bài 4: Một siêu thị có 3 chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất làm việc tốt (chuông kêu khi có cháy) trong 1 năm của mỗi chuông lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9. Gọi X là số chuông kêu khi có cháy trong một năm tới ở siêu thị đó.
a) Lập bảng phân phối của X
b) Viết biểu thức hàm phân phối tích luỹ của X
c) Tính kỳ vọng và phương sai của X
Giải
Gọi A là biến cố chuông I kêu khi có cháy
B là biến cố chuông II kêu khi có cháy
C là biến cố chuông III kêu khi có cháy
=> a.Bảng phân phối xác suất
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,006 | 0,092 | 0,398 | 0,504 |
b. hàm phân phối tích luỹ
c. Kỳ vọng E(X)=0.0,006+1.0,092+2.0,398+3.0,504=2,4 ; phương sai V(X)=0,46
Bài 5: Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư, xác suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư đều bằng 0,4. Gọi X là số ngã tư mà người đó gặp đèn đỏ.
a. Lập bảng phân phối xác suất của X
b. Viết biểu thức hàm phân phối tích luỹ của X
c. Tính kỳ vọng, phương sai của X
d. Nếu mỗi lần gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 1,2 phút thì thời gian trung bình phải dừng trên đường là bao nhiêu?
Giải
Bài toán là dãy phép thử Bernouli n=3 ; p=0,4 ; q=0,6
a. Bảng phân phối xác suất
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
b.Biểu thức phàm phân phối tích luỹ của X là:
c. Kỳ vọng E(X)=1,2 ; Phương sai V(X)=0,72
d.Gọi Y là thời gian dừng đèn đỏ
X=0=>Y=0 =>P(Y)=0,216
X=1=>Y=1,2 =>P(Y)=0,432
X=2=>Y=2,4 =>P(Y)=0,288
X=3=>Y=3,6 =>P(Y)=0,064
Thời gian trung bình phải dừng trên đường là:
E(Y)=0.0,216+1,2.0,432+0,288.2,4+3,6.0,064=1,44
Bài 6: Có 2 nhóm sinh viên. Nhóm thứ nhất có 4 nam và 6 nữ. Nhóm thứ 2 có 3 nam và 7 nữ.
a. Từ mỗi nhóm chọn ngẫu nhiên ra 1 sinh viên. Gọi X là số sinh viên nam trong số sinh viên chọn ra
i.Lập bảng phân phối của X
ii. Tính xác suất để trong số sinh viên chọn ra có ít nhất một nam
b. Từ nhóm thứ nhất chọn ngẫu nhiên ra 2 sinh viên và từ nhóm thứ hai chọn ngẫu nhiên ra 1 sinh viên. Gọi X là số sinh viên nữ trong số sinh viên chọn ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
i. Bảng phân phối của X
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | 0,42 | 0,46 | 0,12 |
Xác suất để trong số sinh viên chọn ra có ít nhất một nam là:
P(A)=0,46+0,12=0,58
b.
Bảng phân phối xác suất là:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/25 | 19/75 | 71/150 | 7/30 |
Bài 7: Trong một hộp có 10 tấm thẻ, trong đó có 4 tấm thẻ ghi số 1, 3 tấm thẻ ghi số 2, 2 tấm thẻ ghi số 3 và 1 tấm thẻ ghi số 4. Từ hộp đó rút ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ
a. Gọi X là số thu được khi cộng hai số ghi trên 2 tấm thẻ với nhau. Lập bảng phân phối xác suất của X
b. Gọi Y là số thu được khi nhân hai số ghi trên 2 tấm thẻ với nhau. Lập bảng phân phối xác suất của Y
Giải
a.
-Bảng phân phối xác suất của X
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P | 6/45 | 12/45 | 11/45 | 10/45 | 4/45 | 2/45 |
b.
-Bảng phân phối xác suất của Y
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 |
| P | 6/45 | 12/45 | 8/45 | 7/45 | 6/45 | 3/45 | 1/45 | 2/45 |
Bài 8: Một người có 5 viên đạn dùng để thử súng. Người đó bắn từng viên cho đến khi trúng tâm thị dừng bắn. Biết rằng xác suất bắn trúng tâm của người đó bằng 0,9.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X- Số viên đạn đã tiêu thụ.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
c) Gọi Y là số viên đạn còn thừa. Tìm quy luật phân phối xác suất của Y.
Giải
A là biến cố bắn trúng
\(\overline{A}\) là biến cố bắn trượt
TH1: bắn trúng 1 viên: P1=A=0,9
TH2: bắn trúng 2 viên: P2=\(\overline{A}A\)=0,1.0,9=0,09
TH3: bắn trúng 3 viên: P3=\(\overline{AA}A=0,1^2.0,9=0,09\)
TH4: bắn trúng 4 viên: P4=\(\overline{AAA}A=0,1^3.0,9=0,009\)
TH5: bắn trúng 5 viên: P5=\(\overline{AAAA}A+\overline{AAAAA}
=0,0004\)
– Tỷ lệ của bảng phân phối X
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,9 | 0,09 | 0,009 | 0,0009 | 0,0001 |
b. Kỳ vọng E (X) = 1,0786; Phương sai V (X) = 0,26634
c.
TH1: P (Y = 0) = P (X = 5) = 0,0001
TH2: P (Y = 1) = P (X = 4) = 0,0009
TH3: P (Y = 2) = P (X = 3) = 0,009
TH4: P (Y = 3) = P (X = 2) = 0,09
TH5: P (Y = 4) = P (X = 1) = 0,9
– Tỷ lệ của bảng phân phối Y
| Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0,0001 | 0,0009 | 0,009 | 0,09 | 0,9 |
Ok xong, trên đây là toàn bộ bài tập về lập bảng phân phối xác suất thống kê, tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc. Cảm ơn bạn đã tham khảo tài liệu trên TTnguyen
